EisatoponAI: Latin Triangle – Η πολύχρωμη γεωμετρική διάταξη με n χρώματα και τριγωνική συμμετρία

Σε τριγωνικό πλέγμα με πλευρά n (σύνολο κορυφών T_n=n(n+1)/2) τοποθετούμε n χρώματα στα σημεία έτσι ώστε σε κάθε ευθεία παράλληλη σε κάποια πλευρά του τριγώνου τα χρώματα να είναι όλα διαφορετικά.

1) Λύση για n = 5 (15 κορυφές, 5 χρώματα)

Αρίθμησε τα 5 χρώματα ως 0,1,2,3,4 (θα τα χαρτογραφήσεις σε πραγματικά χρώματα έπειτα). Γράψε κάθε κορυφή με βαρυκεντρικές συντεταγμένες (i, j, k) με i,j,k ≥ 0 και i + j + k = 4 (επειδή n−1=4).

Κανόνας χρωματισμού: στον κόμβο (i, j, k) βάζουμε χρώμα c(i,j,k) ≡ i + 2j (mod 5).

Αν αριθμήσεις τις οριζόντιες σειρές από την κορυφή προς τη βάση (σταθερό k), παίρνεις το ακόλουθο «λατινικό» μοτίβο (οι αριθμοί είναι οι ετικέτες χρωμάτων mod 5):

k=4: [ 1 ]
k=3: [ 3, 2 ]
k=2: [ 5, 4, 3 ]
k=1: [ 2, 1, 5, 4 ]
k=0: [ 4, 3, 2, 1, 5 ]

Σε κάθε γραμμή παράλληλη σε μια πλευρά, οι τιμές αλλάζουν με σταθερό βήμα (mod 5), οπότε δεν επαναλαμβάνεται χρώμα.

Ενδεικτική διάταξη για n=5. Αντικατάστησε τα 0–4 με πραγματικά χρώματα.

2) Γενική κατασκευή για όλα τα περιττά n

Θεώρησε τριγωνικό πλέγμα πλευράς n. Κάθε κόμβος γράφεται ως (i, j, k) με i, j, k ≥ 0 και i + j + k = n−1. Ορίζουμε τον χρωματισμό

c(i, j, k) ≡ i + 2j  (mod n)

Γιατί δουλεύει όταν n είναι περιττός;

Γραμμές σταθερού j (παράλληλες σε μια πλευρά): το χρώμα αυξάνεται κατά +1 καθώς μεταβάλλεται το i ⇒ όλα διαφορετικά mod n.
Γραμμές σταθερού i: το χρώμα αλλάζει κατά +2. Επειδή gcd(2, n)=1 για περιττό n, σαρώνει όλα τα υπόλοιπα ⇒ όλα διαφορετικά.
Γραμμές σταθερού k: μετακίνηση (i, j) → (i+1, j−1) αλλάζει το χρώμα κατά −1 ⇒ πάλι όλα διαφορετικά.

Έτσι, για κάθε περιττό n υπάρχει ρητή λύση τύπου «λατινικού τριγώνου» με τον απλό κανόνα i + 2j (mod n).

3) Σχόλιο για άρτια n

Για n=2 το πρόβλημα είναι αδύνατο (εύκολος έλεγχος).
Για άλλα άρτια n απαιτούνται πιο εξειδικευμένες κατασκευές· τουλάχιστον μία ακόμη άρτια τιμή είναι επίσης αδύνατη, όπως αναφέρεται στην κλασική βιβλιογραφία του γρίφου.

Χρήση στο μάθημα

Ζήτησε από τους μαθητές να υλοποιήσουν τον κανόνα για n=7 και να ελέγξουν τις τρεις δεσμές παράλληλων γραμμών.
Ζωγράφισαν το τρίγωνο και χρωμάτισαν με πραγματικά χρώματα αντί για αριθμούς 0–n−1.