Ο αριθμός e στο Τρίγωνο του Pascal: Το Θεώρημα του Harlan J. Brothers

Το 2012, ο Harlan J. Brothers απέδειξε την παρακάτω εντυπωσιακή σχέση, όπου 
$s_n$ είναι το γινόμενο των στοιχείων της νιοστής γραμμής του Τριγώνου του Pascal:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\dfrac{s_{n+1}}{s_n}} {\dfrac{s_n}{s_{n-1}}} = e$$

Παρά το φαινομενικά «διακριτό» πλαίσιο του Τριγώνου του Pascal, η συνέχεια και η εκθετική ανάπτυξη κάνουν την εμφάνισή τους με τρόπο μαγικό — αποκαλύπτοντας ότι ο αριθμός _e είναι εγγενής ακόμη και στις πιο βασικές δομές της συνδυαστικής.

Η ιδέα του Brothers δείχνει ότι η εκθετική φύση της ανάπτυξης υπάρχει μέσα στον ίδιο τον ιστό των αριθμών του Pascal, και όχι μόνο στις γνωστές αναλύσεις της ανάλυσης ή του λογισμού.