Ορίζοντας τον αριθμό e και τη «φυσικότητά» του — Ο πιο φυσικός αριθμός των μαθηματικών

Ο αριθμός e ≈ 2.71828... δεν είναι απλώς ένας τυχαίος ή αφηρημένος μαθηματικός αριθμός.
Είναι η φυσική βάση του λογάριθμου που περιγράφει κάθε φαινόμενο συνεχούς, εκθετικής μεταβολής — από την αύξηση πληθυσμών και τη ραδιενεργό αποσύνθεση, έως τον ανατοκισμό κεφαλαίων.

📈 Από πού προκύπτει ο e;

Στα μαθηματικά, ο αριθμός e ορίζεται ως το όριο:

$$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$$

Αυτή η έκφραση αποτυπώνει την ιδέα της συνεχούς ανάπτυξης, όταν η αύξηση συμβαίνει άπειρες φορές μέσα σε απειροελάχιστα χρονικά διαστήματα.
Είναι ο φυσικός “σύνδεσμος” ανάμεσα στο διακριτό και στο συνεχές.

---

🔬 Εκθετική ανάπτυξη ως φυσικό φαινόμενο

Ας υποθέσουμε ότι ένας πληθυσμός βακτηρίων διπλασιάζεται κάθε 20 λεπτά.
Η εξέλιξη του πληθυσμού περιγράφεται από τη σχέση:

$$N = N_0 \, e^{kt}$$

όπου:

• N₀ είναι ο αρχικός πληθυσμός,

• k ο ρυθμός ανάπτυξης,

• t ο χρόνος.

Η εξίσωση αυτή προκύπτει από τη διαφορική σχέση:

$$\frac{dN}{dt}=kN$$

δηλαδή, ο ρυθμός μεταβολής είναι ανάλογος του ίδιου του μεγέθους.
Όταν λύσουμε αυτή την εξίσωση, το e εμφανίζεται φυσικά ως η βάση της εκθετικής συνάρτησης που περιγράφει τη μεταβολή.

---

🌿 Τι κάνει τον e «φυσικό»;

Η φύση «προτιμά» τον αριθμό e επειδή αυτός εκφράζει συνεχή, αναλογική αλλαγή.
Σε κάθε διαδικασία όπου το μέγεθος που αλλάζει επηρεάζει τον ίδιο του τον ρυθμό μεταβολής, το e εμφανίζεται αναπόφευκτα.

Από τη βιολογία και τη χημεία, μέχρι τη φυσική και τα οικονομικά, το e είναι ο ρυθμός με τον οποίο το ίδιο το σύστημα “παράγει” την αλλαγή του.
Δεν είναι λοιπόν ένας τεχνητός αριθμός· είναι ο ρυθμός της ίδιας της φύσης.

---

🧠 Συνοψίζοντας

• Το e ορίζεται ως $\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n$.

• Περιγράφει συνεχή εκθετική μεταβολή.

• Εμφανίζεται φυσικά όπου η αλλαγή είναι αναλογική προς το ίδιο το μέγεθος.