Η ευκλείδεια απόσταση είναι η «κλασική» μέτρηση απόστασης στο \(\mathbb{R}^n\). Δομεί το \(\mathbb{R}^n\) ως μετρικό χώρο και επάγει την τυπική (συνήθη) τοπολογία. Είναι θεμελιώδης στη γεωμετρία, την ανάλυση, τη βελτιστοποίηση και τη μάθηση μηχανής.
Ορισμός
Για \(\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n),\ \mathbf{y}=(y_1,\dots,y_n)\in\mathbb{R}^n\), η ευκλείδεια απόσταση ορίζεται ως
\[ d(\mathbf{x},\mathbf{y}) \;=\; \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}. \]
Ισοδύναμα, αν \(\langle \cdot,\cdot\rangle\) είναι το τυπικό εσωτερικό γινόμενο στο \(\mathbb{R}^n\) και \(\|\mathbf{v}\|=\sqrt{\langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle}\) η αντίστοιχη νόρμα, τότε \[ d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|. \]
Βασικές ιδιότητες
- Μη αρνητικότητα: \(d(\mathbf{x},\mathbf{y})\ge 0\).
- Ταυτοτική ιδιότητα: \(d(\mathbf{x},\mathbf{y})=0 \iff \mathbf{x}=\mathbf{y}\).
- Συμμετρία: \(d(\mathbf{x},\mathbf{y})=d(\mathbf{y},\mathbf{x})\).
- Τριγωνική ανισότητα: \(d(\mathbf{x},\mathbf{z}) \le d(\mathbf{x},\mathbf{y}) + d(\mathbf{y},\mathbf{z})\).
Απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας (με Cauchy–Schwarz)
Θέλουμε να δείξουμε ότι \(\|\mathbf{x}-\mathbf{z}\|\le \|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|+\|\mathbf{y}-\mathbf{z}\|\). Θέτουμε \(\mathbf{u}=\mathbf{x}-\mathbf{y}\) και \(\mathbf{v}=\mathbf{y}-\mathbf{z}\). Τότε \(\mathbf{x}-\mathbf{z}=\mathbf{u}+\mathbf{v}\) και αρκεί να αποδείξουμε την ανισότητα του Minkowski:
\[ \|\mathbf{u}+\mathbf{v}\| \le \|\mathbf{u}\|+\|\mathbf{v}\|. \]
Υψώνοντας στο τετράγωνο και χρησιμοποιώντας το εσωτερικό γινόμενο:
\[ \|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + 2\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle + \|\mathbf{v}\|^2 \le \|\mathbf{u}\|^2 + 2\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\| + \|\mathbf{v}\|^2 = (\|\mathbf{u}\|+\|\mathbf{v}\|)^2, \]
όπου χρησιμοποιήσαμε την ανισότητα Cauchy–Schwarz: \( |\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle|\le \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\| \). Λαμβάνοντας τετραγωνικές ρίζες, προκύπτει η τριγωνική ανισότητα. Ισότητα συμβαίνει τότε και μόνο τότε όταν \(\mathbf{u},\mathbf{v}\) είναι συνευθειακά και με ίδια φορά (μη αρνητικά πολλαπλάσια).
Παραδείγματα
- Στο \(\mathbb{R}^2\): Για \(\mathbf{x}=(x_1,x_2),\ \mathbf{y}=(y_1,y_2)\), \(d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}\). Είναι ακριβώς το Πυθαγόρειο θεώρημα στο επίπεδο.
- Στο \(\mathbb{R}^3\): Για \(\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3),\ \mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)\), \(d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}\).
Γεωμετρική και τοπολογική ερμηνεία
Οι ευκλείδειες μπάλες είναι τα σύνολα \(B_r(\mathbf{x}_0)=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n:\ d(\mathbf{x},\mathbf{x}_0)<r\}\), δηλαδή τα ανοιχτά «σφαίρια» με κέντρο \(\mathbf{x}_0\) και ακτίνα \(r\). Αυτά γεννούν την τυπική τοπολογία στο \(\mathbb{R}^n\). Η ευκλείδεια απόσταση είναι μεταθετική ως προς μετατοπίσεις και αμετάβλητη υπό ορθογώνιους μετασχηματισμούς (περιστροφές/αντανακλάσεις), δηλαδή: \[ d(\mathbf{x}+\mathbf{a},\mathbf{y}+\mathbf{a})=d(\mathbf{x},\mathbf{y}),\quad d(Q\mathbf{x},Q\mathbf{y})=d(\mathbf{x},\mathbf{y})\ \text{για κάθε ορθογώνιο }Q. \]
Σχέση με νόρμες και εσωτερικά γινόμενα
Η ευκλείδεια απόσταση προκύπτει από την ευκλείδεια νόρμα \(\|\cdot\|\) που επάγεται από το τυπικό εσωτερικό γινόμενο. Σε πεπερασμένη διάσταση, όλες οι νόρμες είναι ισοδύναμες (επαγόμενες ίδιες τοπολογίες), αλλά η ευκλείδεια νόρμα ξεχωρίζει επειδή σχετίζεται με γωνίες/ορθογωνιότητα και διαθέτει ισχυρή γεωμετρική ερμηνεία.
Γενικεύσεις και συγκρίσεις
- \(L^p\)-νόρμες: \(\|\mathbf{x}\|_p = \big(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\big)^{1/p}\) για \(1\le p<\infty\), με την ευκλείδεια να αντιστοιχεί στο \(p=2\). Όλες ορίζουν μετρικές \(d_p(\mathbf{x},\mathbf{y})=\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|_p\).
- Μετρικοί χώροι: Η έννοια της μετρικής γενικεύεται πέρα από το \(\mathbb{R}^n\), αλλά η ευκλείδεια απόσταση παραμένει το βασικό σημείο αναφοράς.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου