Διανυσματικό Άθροισμα σε Ορθογώνιο Τρίγωνο

 Στο τρίγωνο ΔABC, ισχύει 

$\angle ABC = 90^\circ$ και $BA = BC = \sqrt{2}$. 

Στην υποτείνουσα $\overline{AC}$ βρίσκονται τα σημεία $P_1, P_2, \dots, P_{2024}$, έτσι ώστε:

$$AP_1 = P_1P_2 = P_2P_3 = \dots = P_{2023}P_{2024} = P_{2024}C.$$

Να βρεθεί το μέτρο του διανυσματικού αθροίσματος:

Fish Curve: Το Ψάρι της Αναλυτικής Γεωμετρίας

Τι είναι η Fish Curve;

Η fish curve είναι μια ειδική αρνητική πεδική καμπύλη (negative pedal curve) ελλείψεως, όπου το pedal point βρίσκεται κοντά σε ένα από τα εστίες της έλλειψης, υπό την προϋπόθεση ότι η εκκεντρότητα της έλλειψης ισούται με $e^2 = \dfrac{1}{2}$​.

image@Cliff Pickover

---

Εξισώσεις και Ιδιότητες

ΒΙΒΛΙΟ: Analytical Geometry, A.V. Pogorelov (pdf)

Click on the image.

Ανάκλαση Παραβολής γύρω από Ευθεία

Η παραβολή με εξίσωση

$$y = x^2$$

ανακλάται ως καμπύλη γύρω από την ευθεία

$$y = x + 2$$

Ποια από τις παρακάτω είναι η εξίσωση της ανακλώμενης παραβολής;

Επιλογές:
A. $x = y^2 + 4y + 2$
B. $x = y^2 + 4y - 2$
C. $x = y^2 - 4y + 2$
D. $x = y^2 - 4y - 2$
E. $x = y^2 + 2$

Μετατροπή Καρτεσιανών και Σφαιρικών Συντεταγμένων – Τύποι, Ορισμοί και Παράδειγμα

Η σχέση μεταξύ καρτεσιανών συντεταγμένων (x,y,z) και σφαιρικών συντεταγμένων (r,θ,ϕ) ενός σημείου στο χώρο δίνεται από τους εξής μετασχηματισμούς:

---

🔷 Από σφαιρικές σε καρτεσιανές συντεταγμένες:

$$\begin{cases} x = r \sin\theta \cos\phi \\ y = r \sin\theta \sin\phi \\ z = r \cos\theta \end{cases}$$

Όπου:

Υπολογισμός Απόστασης Μπαλονιού με Βάση Δύο Ευθείες και Κλίσεις

Στο καρτεσιανό επίπεδο φαίνεται ότι ένα μπαλόνι ξεκινά από το σημείο O και ανυψώνεται ακολουθώντας την ευθεία d:3x−4y=0. Στη συνέχεια, αρχίζει να κατεβαίνει ακολουθώντας την ευθεία t:x+2y+k=0.

Πριν ξεκινήσει την κάθοδο, το μπαλόνι διανύει 40 μονάδες μήκους κατά μήκος της ευθείας d.

Δεδομένου ότι οι ευθείες d και t βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και ότι ο άξονας x αντιπροσωπεύει το επίπεδο του εδάφους: Όταν το μπαλόνι φτάσει στο έδαφος, πόση είναι η οριζόντια απόσταση (στην κατεύθυνση του άξονα x) από το αρχικό σημείο εκκίνησης;

A) 70    B) 80    C) 90    D) 100    E) 110

Από την τράπεζα θεμάτων της Τουρκίας

Πώς να Βρείτε τη Μικρή Πλευρά Ορθογωνίου με Συντεταγμένες και Περίμετρο

Ένας καθηγητής γεωμετρίας ορίζει τις πάνω δεξιά και πάνω αριστερά κορυφές ενός ορθογωνίου πίνακα ως σημεία A και B. Επιλέγει ένα σημείο O στο επίπεδο έτσι ώστε οι συντεταγμένες του A να είναι ίσες μεταξύ τους, και σχεδιάζει δύο ημιευθείες: OA και BO, οι οποίες τέμνουν τις πλευρές του πίνακα στα σημεία C και D αντίστοιχα.

Δίνονται:

• Η τετμημένη του σημείου C είναι –20

• Η τετμημένη του σημείου D είναι –30

• Η περίμετρος του πίνακα είναι 460 cm

Πόσο είναι το μήκος της μικρής πλευράς του πίνακα;

A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100

Από την τράπεζα θεμάτων της Τουρκίας

Πώς να Βρεις την Παραμετρική Εξίσωση μιας Ευθείας

📌 Ανακαλύπτοντας την Παραμετρική Εξίσωση μιας Ευθείας

Δίνεται: Η εξίσωση της ευθείας:

2x − 3y = 1

Θέλουμε να εκφράσουμε κάθε σημείο (x, y) αυτής της ευθείας με παραμετρική μορφή.

---

📐 Λύση βήμα προς βήμα

Βήμα 1: Εύρεση ενός σημείου πάνω στην ευθεία

Ας θέσουμε x = 2. Τότε:

2(2) − 3y = 1 ⇒ 4 − 3y = 1 ⇒ y = 1

Άρα το σημείο P₀ (2, 1) ανήκει στην ευθεία.

📐 Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο τομής δύο ευθειών;

Πώς βρίσκουμε την εξίσωση κάθε ευθείας που περνά από το σημείο τομής δύο ευθειών;

---

Έστω ότι δίνονται δύο μη παράλληλες ευθείες:

$$\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1 = 0 \quad \text{(ευθεία 1)} \\ A_2x + B_2y + C_2 = 0 \quad \text{(ευθεία 2)} \end{cases}$$​Αυτές τέμνονται σε ένα μοναδικό σημείο, το $(x_0, y_0)$, αφού δεν είναι παράλληλες.

---

🧠 Ερώτηση:

Ποια είναι η γενική εξίσωση κάθε ευθείας που περνά από το σημείο $(x_0, y_0)$;

Αναλυτική Γεωμετρία: Η Γέφυρα μεταξύ Γεωμετρίας και Άλγεβρας

Η αναλυτική γεωμετρία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που γεφυρώνει τη γεωμετρία με την άλγεβρα, επιτρέποντάς μας να μελετάμε γεωμετρικά σχήματα και προβλήματα χρησιμοποιώντας αριθμούς και εξισώσεις. Αυτή η προσέγγιση άλλαξε ριζικά τον τρόπο που αντιλαμβανόμαστε και επιλύουμε γεωμετρικά ζητήματα.

---

Ιστορική Εξέλιξη

Η ανάπτυξη της αναλυτικής γεωμετρίας τον 17ο αιώνα οφείλεται κυρίως σε δύο μεγάλους μαθηματικούς: τον René Descartes και τον Pierre de Fermat. Η πρωτοποριακή τους εργασία έθεσε τα θεμέλια για μια νέα εποχή στην κατανόηση της γεωμετρίας, εισάγοντας τη χρήση συστημάτων συντεταγμένων.

Εμβαδόν Τραπεζίου στο Αναλυτικό Επίπεδο

Οι ορατές επιφάνειες δύο ορθογώνιων βιβλίων που στέκονται κάθετα σε ένα ράφι βρίσκονται στο αναλυτικό επίπεδο. 

Δίνονται τα σημεία $F(2,10)$ και $E(7,5)$. Ποιο είναι το εμβαδόν του τραπεζίου $ABEF$ σε τετραγωνικές μονάδες;

Εξίσωση Ευθείας μετά από Περιστροφή Ρόμβου

Στην παρακάτω εικόνα το $ABCD$ είναι ένα τετράγωνο, το $AEFG$ είναι ένας ρόμβος και $DC=9$, $AE=5, F'C=6$.

Το τετράγωνο $ABCD$ στο σχήμα τοποθετείται στο ορθοκανονικό σύσημα συντεταγμένων έτσι ώστε τα σημεία $A$ και $O$ να συμπίπτουν.

Ο ρόμβος $AEFG$ περιστρέφεται γύρω από την κορυφή $O$ και έχουμε τη δεύτερη εικόνα στα δεξιά.

Σύμφωνα με αυτά, η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία $G, F'$ είναι:

A) $3x−4y+10=0 $

B) $3x−4y+12=0 $

Γ) $3x−4y+20=0 $

Δ) $4x−3y+15=0 4

E) $4x+3y−20=0$

Σκοράρει ο Χάλαντ

Τα δύο δοκάρια ενός γηπέδου ποδοσφαίρου βρίσκονται στα σημεία $𝐴(4,0)$ και $𝐵(−4,0)$. Ο αγωνιστικός χώρος του γηπέδου είναι η περιοχή που ορίζεται από τα τεταρτημόρια $III$ και $IV$. 

α) Η μπάλα λακτίζεται από το σημείο $𝑄(−5, −10)$ προς το τέρμα. Βρείτε κατά προσέγγιση γωνία $AQB$ σε μοίρες.

β) Ας υποθέσουμε ότι ο επιθετικός βρίσκεται σε ένα μεταβλητό σημείο $𝑃$ κατά μήκος του κύκλου

 $(𝑥 − 14)^ 2 +(𝑦 +12) ^2 = 25$. 

Λέμε ότι έχει τις καλύτερες πιθανότητες να σκοράρει όταν η γωνία $𝐴𝑃𝐵$ είναι μέγιστη. Βρείτε τις συντεταγμένες του $𝑃$ που μεγιστοποιούν τις πιθανότητές του να πετύχει ένα γκολ.

Rene DESCARTES | The father of analytical geometry

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων | Βιντεοδιαλέξεις | Απειροστικός Λογισμός - Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί (Στροφή-Κατοπτρισμός)

Άθροισμα εμβαδών

Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων $AEG$ και $BGF$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Αντιπαράθεση Ευκλείδειας Γεωμετρίας με Αναλυτική

 Του Στέλιου Μιχαήλογλου 

Κάντε κλικ στην εικόνα.

▪Συντελεστές διεύθυνσης

Έστω ρόμβος $ABCD$. Αν $m_1$ ο συντελεστής διεύθυνσης της πλευράς $AB$ (ή $DC$) και $m_2$ ο συντελεστής διεύθυνσης της πλευράς $AD$ (ή $BC$), να αποδειχθεί ότι οι συντελεστές 

διεύθυνσης των διαγωνίων του είναι

$m=\frac{a}{b\pm{\sqrt{a^2+b^2}}}$

όπου $a=m_1+m_2$ και $b=1-m_1m_2$.
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Τρία σημεία

Δίνονται τρία σημεία $Α(1, 0), Β(1, 0), Γ(0,h )$, όπου $h> 0$.

Να βρεθούν σημεία $Μ(x,y)$, για τα οποία οι αποστάσεις από τα $Α,Β,Γ$ να έχουν την ελάχιστη δυνατή τιμή. 

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪Ελλειψοειδές

Εξίσωση επιφάνειας

$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-_0)^2}{b^2}+\frac{(z-z_0)^2}{c^2}= 1$.

$(x_0, y_0, z_0)$ = κέντρο

$a, b, c$ = ημιάξονες

Κάθε πραγματική τομή με επίπεδο είναι κλειστή δευτεροβάθμια καμπύλη, άρα είναι έλλειψη (με ειδική περίπτωση τον κύκλο).