Euler Integrals — Οι Δύο Ολοκληρωματικές Συναρτήσεις του Euler

Ο Leonhard Euler υπήρξε από τους θεμελιωτές της ανάλυσης.
Δύο από τις πιο διάσημες συνεισφορές του είναι τα δύο ολοκληρώματα του Euler, που αποτελούν τη βάση για τη beta συνάρτηση και τη gamma συνάρτηση.
Αυτές οι συναρτήσεις συνδέουν την ανάλυση με τη συνδυαστική, τη θεωρία πιθανοτήτων και τη φυσική.

---

🔹 1. Το Ολοκλήρωμα του Euler Πρώτου Είδους — Η Beta Συνάρτηση

Η beta συνάρτηση $B(z_1, z_2)$ ορίζεται για $\text{Re}(z_1), \text{Re}(z_2) > 0$ ως:

$$B(z_1, z_2) = \int_0^1 t^{z_1-1} (1-t)^{z_2-1} \, dt$$

Ο Euler απέδειξε ότι συνδέεται άμεσα με τη gamma συνάρτηση μέσω της σχέσης:

$$B(z_1, z_2) = \frac{\Gamma(z_1) \, \Gamma(z_2)}{\Gamma(z_1 + z_2)}$$

📘 Ιδιότητα συμμετρίας:

$$B(x, y) = B(y, x)$$

---

🔹 2. Το Ολοκλήρωμα του Euler Δευτέρου Είδους — Η Gamma Συνάρτηση

Η gamma συνάρτηση είναι μία γενίκευση του παραγοντικού για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς:

$$\Gamma(z) = \int_0^{\infty} t^{z-1} e^{-t} \, dt, \quad \text{Re}(z) > 0$$

Για φυσικούς αριθμούς $n$:

$$\Gamma(n) = (n - 1)!$$

📘 Επαναληπτική σχέση:

$$\Gamma(z+1) = z \, \Gamma(z)$$

---

🧩 3. Σχέσεις μεταξύ Beta και Gamma

Για θετικούς ακεραίους $m, n$:

$$B(n, m) = \frac{(n-1)!(m-1)!}{(n+m-1)!}$$

ή ισοδύναμα:

$$B(n, m) = \frac{n+m}{n m \binom{n+m}{n}}$$

Από την άλλη:

$$\Gamma(n) = (n-1)!$$

Αυτοί οι τύποι δείχνουν ότι οι συναρτήσεις Euler αποτελούν φυσική επέκταση του παραγοντικού σε συνεχή ορίσματα.

---

🔸 4. Παραδείγματα Υπολογισμών

Παράδειγμα 1

$$\int_0^1 \sqrt{t(1-t)} \, dt = B\!\left(\tfrac{3}{2}, \tfrac{3}{2}\right) = \frac{\Gamma(\tfrac{3}{2})^2}{\Gamma(3)} = \frac{\pi}{8}$$

Παράδειγμα 2

$$\int_0^{\infty} t^{k} e^{-t} \, dt = \Gamma(k+1) = k! \quad (k \in \mathbb{N})$$

---

🔹 5. Ιδιότητες & Ειδικές Τιμές

• $\Gamma\!\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$

• $\Gamma\!\left(n + \frac{1}{2}\right) = \frac{(2n)!}{4^n n!}\sqrt{\pi}$

• $B(x,y) = \int_0^{\infty} \frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}$ (μετασχηματισμός μέσω $t = \frac{u}{1-u}$)

• $B(x,1-x) = \frac{\pi}{\sin(\pi x)}$ (τύπος Euler–Legendre)

---

🚀 6. Εφαρμογές

Οι συναρτήσεις αυτές εμφανίζονται σε πολυάριθμους τομείς:

• Πιθανότητες και στατιστική: στην κατανομή Beta και στην πολυδιάστατη Dirichlet.

• Ανάλυση & μαθηματική φυσική: σε ολοκληρώματα Laplace, Fourier και κανονικοποιήσεις συναρτήσεων.

• Κβαντομηχανική & θερμοδυναμική: σε συναρτήσεις διαμερισμού και καταστάσεων.

• Συνδυαστική: στην ανάλυση του $\binom{n}{k}$ για συνεχείς τιμές.

---

🧮 7. Υπολογιστικά Tips

• Πάντα έλεγξε ότι $\text{Re}(z) > 0$ για τους ορισμούς των ολοκληρωμάτων.

• Για αριθμητικούς υπολογισμούς, προτίμησε τη log-gamma συνάρτηση (lgamma) για αποφυγή υπερχείλισης.

• Η αναλυτική συνέχεια της $\Gamma(z)$ επιτρέπει την επέκταση στο μιγαδικό επίπεδο, με απλούς πόλους στους μη θετικούς ακεραίους.

---

📚 Βιβλιογραφία

1. Jeffrey, A. & Dai, H.-H. (2008). Handbook of Mathematical Formulas and Integrals (4th ed.). Elsevier Academic Press.

2. Jahnke, H. N. (2003). A History of Analysis. American Mathematical Society.