Συνδυαστική θεώρηση της εικασίας του Goldbach από τους Clarke και Shannon, με μαθηματική ανάλυση και υπολογιστική επιβεβαίωση

Η εικασία του Goldbach, διατυπωμένη το 1742 σε επιστολή προς τον Euler, υποστηρίζει ότι κάθε άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του 4 μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα δύο περιττών πρώτων αριθμών.
Παρά τις εκατοντάδες προσπάθειες, μια πλήρης απόδειξη δεν έχει ακόμα βρεθεί.

Το 1970 οι J.H. Clarke και A.G. Shannon παρουσίασαν μια συνδυαστική προσέγγιση στο πρόβλημα, αποδεικνύοντας ότι η πιθανότητα η εικασία να είναι λανθασμένη είναι εξαιρετικά μικρή, πρακτικά μηδενική.

---

🧩 Η Ιδέα της Μεθόδου

Οι Clarke και Shannon εισάγουν ένα παράδειγμα για τον αριθμό 18:
οι δυνατοί συνδυασμοί δύο περιττών αριθμών που δίνουν 18 είναι οι:

3 + 15  
5 + 13  
7 + 11  
9 + 9

Αν στους δύο πίνακες (πρώτη και δεύτερη στήλη) θεωρήσουμε ότι υπάρχουν
h₁ πρώτοι αριθμοί στην πρώτη και h₂ στη δεύτερη, τότε εφόσον ένας πρώτος από τη μία στήλη είναι «γειτονικός» σε έναν πρώτο της άλλης, η εικασία επαληθεύεται για το συγκεκριμένο άρτιο (όπως π.χ. 7 και 11 στο παράδειγμά τους).

---

🔢 Συνδυαστική Ανάλυση

Οι συγγραφείς υπολογίζουν τον αριθμό τρόπων επιλογής των h₁ και h₂ πρώτων χωρίς γειτονικές επιλογές, καθώς και τον συνολικό αριθμό τρόπων επιλογής τους, ώστε να βρουν την πιθανότητα παραβίασης της εικασίας.
Το αποτέλεσμα έχει τη μορφή:

$$\frac{\binom{r - h_1}{h_2}}{\binom{r}{h_2}}$$

και για μεγάλους αριθμούς r, με $h_1 \approx h_2 = h$, η πιθανότητα εκτιμάται ως:

$$\left(1 - \frac{h}{r}\right)^{h}$$

💻 Υπολογιστική Επαλήθευση

Η εικασία του Goldbach έχει επαληθευθεί με υπολογιστικά μέσα για όλους τους άρτιους αριθμούς έως $10^8$.
Για παράδειγμα, ο αριθμός των πρώτων μικρότερων του 5000 είναι 667, ενώ μεταξύ 5000 και 10000 είναι 571 — τιμές που ενισχύουν το συμπέρασμα $h_1 \approx h_2$.

Για $r = 250000$ και $h = 39250$, οι Clarke και Shannon υπολόγισαν την πιθανότητα παραβίασης ως:

$$\left(1 - \frac{39250}{250000}\right)^{39250} \approx 10^{-2911}$$

μια απίστευτα μικρή πιθανότητα, τόσο χαμηλή ώστε «κανένας καθαρός μαθηματικός δεν θα τη θεωρούσε εφικτή».

---

📘 Συμπέρασμα και Ιστορικό Πλαίσιο

Το έργο των Clarke και Shannon δεν αποτελεί απόδειξη, αλλά μια συνδυαστική ισχυρή ένδειξη ότι η εικασία του Goldbach είναι αληθής.
Η μέθοδός τους χρησιμοποιεί ιδέες από τη θεωρία πιθανοτήτων, τη συνδυαστική ανάλυση και την πυκνότητα πρώτων αριθμών, αξιοποιώντας αποτελέσματα των Hardy & Littlewood, Hardy & Wright, Mirsky, και Rosser & Schoenfeld.

Η συμβολή τους υπενθυμίζει πως ακόμα και χωρίς πλήρη απόδειξη, η συνδυαστική λογική μπορεί να προσφέρει εξαιρετικά πειστικές ενδείξεις σε ένα από τα πιο διάσημα άλυτα προβλήματα της μαθηματικής ιστορίας.