Η Σταθερά Hafner–Sarnak–McCurley: Πιθανότητες σε Τυχαίες Ορίζουσες

Η σταθερά Hafner–Sarnak–McCurley (συμβολίζεται με σ) εκφράζει την πιθανότητα ότι οι ορίζουσες δύο τυχαίων $n \times n$ ακέραιων πινάκων είναι σχεδόν πρώτες καθώς $n \to \infty$.

📐 Ορισμός

Η πιθανότητα $D(n)$ δίνεται από το γινόμενο:

$$D(n) = \prod_{k=1}^{\infty} \left\{1 - \Bigl[\,1 - \prod_{j=1}^{n} \left(1 - p_k^{-j}\right)\Bigr]^2\right\}$$

Η σταθερά Hafner–Sarnak–McCurley ορίζεται ως το όριο αυτής της ακολουθίας:

$$\sigma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }D(n)\approx 0.3532363719\dots$$

---

🔢 Ιδιότητες

• Για $D(1)$, έχουμε τη γνωστή πιθανότητα δύο τυχαίων ακεραίων να είναι πρώτοι μεταξύ τους:

  $$D(1)=\frac{6}{{\pi }^2}\approx 0.6079$$

• Για $n \ge 2$, οι τιμές προσεγγίζονται αριθμητικά:

  $$D(2)\approx 0.4531,D(3)\approx 0.3973$$

• Η σύγκλιση προς το όριο $\sigma$ είναι περίπου γεωμετρική, με παράγοντα ~0.57 ανά αύξηση του $n$.

---

🧠 Μαθηματική Ερμηνεία

Η σταθερά αυτή μετρά, κατά κάποιο τρόπο, το πόσο “τυχαίες” είναι οι ορίζουσες μεγάλων ακέραιων πινάκων από την άποψη της πρώτης παραγοντοποίησης.
Αντανακλά μια βαθιά σχέση ανάμεσα στην τυχαιότητα, την αριθμητική δομή και την πυκνότητα των πρώτων 

αριθμών.

---

📚 Πηγές

• Wikipedia: Hafner–Sarnak–McCurley constant

• MathWorld: Hafner-Sarnak-McCurley Constant