EisatoponAI: Η Σταθερά Komornik–Loreti και η Μοναδική Δυαδική Αναπαράσταση του Αριθμού 1

Η σταθερά Komornik–Loreti (συμβολίζεται με q<sub>KL</sub>) είναι η ελάχιστη βάση $q \in (1, 2)$ για την οποία ο αριθμός 1 διαθέτει μοναδική δυαδική αναπαράσταση με ψηφία 0 ή 1.

Σταθεράς Komornik–Loreti που συνδέει τη βάση q, την ακολουθία Thue–Morse και τη μοναδική δυαδική ανάπτυξη του αριθμού 1.

📐 Ορισμός

Η μοναδική αυτή ανάπτυξη γράφεται ως:

1 = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{t_k}{q^k}

όπου $t_k$ είναι η ακολουθία Thue–Morse, που ορίζεται από την παραμονή (parity) του πλήθους των 1 στο δυαδικό ανάπτυγμα του $k$ .

Η αριθμητική της τιμή είναι:

q_{KL} \approx 1.787231650\ldots

⚙️ Ισοδύναμη Εξίσωση

Η σταθερά ικανοποιεί την εξίσωση:

\prod_{k=0}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{q^{2^k}}\right) = \left(1 - \frac{1}{q}\right)^{-1} - 2

🔢 Ιδιότητες

Είναι η μοναδική βάση για την οποία το 1 έχει μία και μόνο μία ανάπτυξη σε ψηφία 0-1.
Οι Vincenzo Komornik και Paola Loreti την ανακάλυψαν το 1998.
Οι Allouche και Cosnard απέδειξαν το 2000 ότι η σταθερά είναι υπερβατική (transcendental).
Η σχέση της με την ακολουθία Thue–Morse συνδέει την αριθμητική με την υπολογιστική πολυπλοκότητα και τη δυναμική θεωρία συστημάτων.

🧠 Μαθηματική Ερμηνεία

Η σταθερά Komornik–Loreti βρίσκεται στο μεταίχμιο μεταξύ τάξης και χάους στις αναπαραστάσεις των αριθμών σε μη ακέραιες βάσεις.
Αποτελεί θεμελιώδη παράδειγμα του πώς μια απλή δυαδική λογική (0-1) οδηγεί σε βαθιές μαθηματικές δομές, όπου η μοναδικότητα προκύπτει μέσα από την απειρία.