Η Τέλεια Εμμονή: Η Παράξενη Ιστορία των Τέλειων Αριθμών και των Πρώτων του Mersenne

🔹 Όταν τα Μαθηματικά συναντούν τη Θεολογία

Στον 17ο αιώνα, ο Μαρτέν Μερσέν (Marin Mersenne) — Γάλλος μοναχός, φιλόσοφος και μαθηματικός — αλληλογραφούσε με τα μεγαλύτερα μυαλά της εποχής: Descartes, Pascal, Galileo, Huygens.
Παρά την επιρροή του, έμεινε γνωστός μόνο για μια μαθηματική περιέργεια: τους αριθμούς Mersenne, που έχουν τη μορφή

$$M_p = 2^p - 1$$

όπου p είναι πρώτος αριθμός.
Κάποιοι από αυτούς κρύβουν μέσα τους τους τέλειους αριθμούς, αριθμούς τόσο όμορφους — και τόσο άχρηστους — που μαγεύουν τους μαθηματικούς εδώ και 2.000 χρόνια.

---

🔹 Ο ορισμός του τέλειου αριθμού

Ένας τέλειος αριθμός είναι ένας θετικός ακέραιος που ισούται με το άθροισμα όλων των θετικών του διαιρετών (εκτός από τον ίδιο).
Για παράδειγμα:

$$6 = 1 + 2 + 3$$

Οι πρώτοι τέλειοι αριθμοί είναι:

$$6, \; 28, \; 496, \; 8128, \; 33{,}550{,}336, \dots$$

Κανείς όμως δεν ξέρει αν υπάρχει μονός τέλειος αριθμός. Αν υπάρχει, θα έχει πάνω από 150 ψηφία.

---

🔹 Ο Ευκλείδης και ο Euler

Ο Ευκλείδης απέδειξε γύρω στο 300 π.Χ. ότι αν $2^p - 1$ είναι πρώτος, τότε:

$$2^{p-1}(2^p - 1)$$

είναι τέλειος αριθμός.

Δύο χιλιετίες αργότερα, ο Leonhard Euler απέδειξε το αντίστροφο: κάθε άρτιος τέλειος αριθμός έχει αυτή ακριβώς τη μορφή.

Έτσι, κάθε πρώτος του Mersenne δημιουργεί έναν άρτιο τέλειο αριθμό — και το αντίστροφο.

---

🔹 Ένα μαθηματικό θαύμα (και μια μαθηματική κατάρα)

Οι τέλειοι αριθμοί έχουν μαγικές ιδιότητες:

• Όλοι οι άρτιοι τέλειοι αριθμοί τελειώνουν σε 6 ή 28.

• Είναι τριγωνικοί:

  $$6 = 3 \times 4 / 2, \quad 28 = 7 \times 8 / 2$$

• Το άθροισμα των αντιστρόφων όλων των διαιρετών τους ισούται με 2:

  $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 2$$

• Στο δυαδικό σύστημα, γράφονται ως n άσοι ακολουθούμενοι από n−1 μηδενικά:

  $$6 = 110_2, \quad 28 = 11100_2, \quad 496 = 111110000_2$$

Αλλά — παρά την τέλεια συμμετρία τους — κανείς δεν έχει βρει τύπο που να παράγει όλους τους τέλειους αριθμούς.

---

🔹 Η αναζήτηση του επόμενου τέλειου

Από τον Ευκλείδη μέχρι τον Slowinski, η αναζήτηση των Mersenne primes είναι μια ιστορία τεσσάρων αιώνων μαθηματικής εμμονής.

Έτος	Ανακάλυψη	Πρώτος του Mersenne	Τέλειος αριθμός
1455	Regiomontanus	$2^{13}-1$	8128
1588	Cataldi	$2^{17}-1, 2^{19}-1$	131.071, 524.287
1772	Euler	$2^{31}-1$	2.305.843.009.139.952.128
1952	Robinson (με SWAC)	13 νέοι πρώτοι	Πρώτη χρήση υπολογιστή
1979–1992	Slowinski & Noll	έως $2^{756839}-1$	32 γνωστοί τέλειοι αριθμοί

---

🔹 Η «δοκιμή Lucas-Lehmer»

Ο πιο αποτελεσματικός τρόπος να ελεγχθεί αν ένας αριθμός της μορφής $2^p - 1$ είναι πρώτος είναι η δοκιμή Lucas-Lehmer:

1. Θέτουμε $S_0 = 4$.

2. Υπολογίζουμε $S_{n+1} = S_n^2 - 2$ (mod $2^p - 1$).

3. Αν $S_{p-2} = 0$, τότε $2^p - 1$ είναι πρώτος.

Ο έλεγχος για τους μεγαλύτερους γνωστούς πρώτους απαιτεί εκατομμύρια ψηφία και ώρες υπολογισμού, ακόμη και με υπερυπολογιστές.

---

🔹 Η παράδοση των τελείων

Από τον Ευκλείδη ως τους σύγχρονους κυνηγούς πρώτων, οι τέλειοι αριθμοί παρέμειναν σύμβολο αισθητικής συμμετρίας στα μαθηματικά.
Ο Peter Barlow έγραψε το 1811:

«Είναι απλώς περίεργοι, χωρίς να είναι χρήσιμοι. Κι όμως, η ομορφιά τους δεν παύει να μας συναρπάζει.»