Από τη γεωμετρική «κουβέρτα» στο αιώνιο ερώτημα της κάλυψης
Υπάρχουν προβλήματα στη γεωμετρία που, παρά τη φαινομενική τους απλότητα, κρύβουν βάθος, πρωτοτυπία και… μια μικρή δόση μυστηρίου. Ένα από τα πιο διάσημα τέτοια προβλήματα είναι το λεγόμενο Worm Problem, το οποίο διατύπωσε ο Καναδός μαθηματικός Leo Moser τη δεκαετία του 1960.
Η διατύπωσή του είναι σχεδόν παιδικά απλή:
Ποια είναι η μικρότερη κυρτή περιοχή που μπορεί να περιέχει κάθε καμπύλη μήκους 1;
Η καμπύλη αυτή μπορεί να έχει οποιοδήποτε σχήμα — μπορεί να είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα, ένα τόξο κύκλου, ένα σχήμα «L» ή ένα σπάσιμο τύπου «V». Αυτές οι καμπύλες είναι γνωστές στη βιβλιογραφία ως τα «σκουλήκια» (worms). Η πρόκληση είναι να βρεθεί το μικρότερο δυνατό «χαλί» ή «κουβέρτα» που να μπορεί να τα καλύπτει όλα.
Από το σκουλήκι στη γεωμετρία της ελαχιστοποίησης
Το πρόβλημα αυτό μοιάζει με ένα παιχνίδι μετρήσεων και καλύψεων:
αν ξέρουμε ότι μια καμπύλη έχει μήκος 1, μπορούμε να υπολογίσουμε το μικρότερο σχήμα που σίγουρα θα τη χωρέσει;
Φυσικά, όσο πιο «στριφογυριστό» είναι το σκουλήκι, τόσο πιο ευρύχωρη πρέπει να είναι η κουβέρτα. Όμως η περιοχή πρέπει να είναι κυρτή, δηλαδή κάθε δύο σημεία της να συνδέονται με ευθύγραμμο τμήμα που μένει εντός της.
Η απαίτηση αυτή κάνει το πρόβλημα εξαιρετικά δύσκολο.
Τα πρώτα βήματα: υποψήφια σχήματα
Οι πρώτες προσεγγίσεις στο πρόβλημα ήρθαν από μαθηματικούς όπως ο Besicovitch, ο Poole και ο Schaer.
Πρότειναν διάφορες καμπύλες σκουληκιών (γνωστές ως ⊥-worm, λ-worm και V-worm) και υπολόγισαν ποια κυρτά σχήματα θα μπορούσαν να τις καλύψουν.
Οι καλύτερες υποψήφιες «κουβέρτες» που προέκυψαν ήταν τρίγωνα και κυκλικά τμήματα με εμβαδά μεταξύ 0,23 και 0,27.
Το μικρότερο μέχρι στιγμής γνωστό κυρτό σχήμα που καλύπτει κάθε σκουλήκι μήκους 1 έχει εμβαδόν περίπου 0,232.
Κανείς όμως δεν έχει αποδείξει αν αυτή είναι η ελάχιστη δυνατή τιμή — το πρόβλημα παραμένει ανοιχτό.
Γιατί έχει σημασία
Αν και φαίνεται σαν «παιχνίδι» γεωμετρίας, το πρόβλημα του Moser αγγίζει βαθύτερες έννοιες:
-
Τη θεωρία κάλυψης και βελτιστοποίησης στη γεωμετρία.
-
Τη συνεχή μετάβαση από διακριτά αντικείμενα σε αναλυτικά όρια.
-
Την έννοια του ελάχιστου χώρου για δεδομένη πληροφορία — μια ιδέα που εμφανίζεται και στην πληροφορική, στη φυσική και στη μηχανική μάθηση.
Το «σκουλήκι» είναι λοιπόν περισσότερο από μια καμπύλη: είναι σύμβολο της προσπάθειας να μετρήσουμε το άπειρο με πεπερασμένα μέσα.
Leo Moser
Ένα πρόβλημα που ταξιδεύει στο χρόνο
Περισσότερο από μισό αιώνα μετά, το Worm Problem παραμένει αναπάντητο. Μαθηματικοί, ερευνητές και ερασιτέχνες συνεχίζουν να ψάχνουν νέες ιδέες, συνδυάζοντας γεωμετρία, υπολογισμούς και υπολογιστικά πειράματα.
Ίσως κάποτε βρεθεί η ακριβής απάντηση.
Ως τότε, κάθε νέα προσέγγιση —από ένα απλό τρίγωνο μέχρι ένα πολύπλοκο λείο περίγραμμα— κρατά ζωντανή τη μαγεία της αναζήτησης του βέλτιστου.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου