EisatoponAI: Πώς διορθώνουν τα Μαθηματικά τα λάθη στην επικοινωνία: Η θεωρία των κωδίκων και η απόσταση Hamming

Η ανάγκη για «ανθεκτικά» μηνύματα

Από τότε που ο άνθρωπος άρχισε να επικοινωνεί σε μεγάλες αποστάσεις, ένα πρόβλημα τον ακολουθεί: πώς μπορούμε να στείλουμε ένα μήνυμα που να φτάσει σωστά, ακόμη κι αν στη διαδρομή προκύψουν λάθη ή παραμορφώσεις;

Είτε μιλάμε για σήματα Μορς, είτε για ραδιοεπικοινωνία, είτε για μεταφορά δεδομένων στο διαδίκτυο, η ουσία είναι η ίδια:

Τα μαθηματικά πρέπει να εξασφαλίσουν ότι το μήνυμα φτάνει σωστά — ακόμα κι αν «λερωθεί» από θόρυβο.

Αυτό είναι το αντικείμενο της θεωρίας των κωδίκων (coding theory).

Από το αλφάβητο στο μαθηματικό «χώρο»

Ένας κώδικας είναι ένα σύνολο από «λέξεις» φτιαγμένες με ένα αλφάβητο.
Το αλφάβητο μπορεί να έχει 2 σύμβολα (0 και 1, όπως στους υπολογιστές), ή περισσότερα.

Κάθε λέξη έχει ένα σταθερό μήκος — για παράδειγμα, όλες οι λέξεις μπορεί να έχουν 6 χαρακτήρες.
Το σύνολο όλων των δυνατών λέξεων σχηματίζει τον χώρο του κώδικα.
Ανάμεσά τους, κάποιες λέξεις επιλέγονται ως οι «νόμιμες» — αυτές αποτελούν τον ίδιο τον κώδικα (code).

Η απόσταση Hamming: πώς μετράμε τα λάθη

Για να διορθώσουμε λάθη, πρέπει πρώτα να τα μετρήσουμε.
Η απόσταση Hamming μεταξύ δύο λέξεων είναι ο αριθμός των θέσεων στις οποίες διαφέρουν.

📘 Παράδειγμα:

«ROOM» και «MOOR» διαφέρουν σε δύο γράμματα → απόσταση 2
«LAWYER» και «DRAWER» διαφέρουν σε 3 → απόσταση 3

Όσο μεγαλύτερη είναι η ελάχιστη απόσταση μεταξύ των έγκυρων λέξεων ενός κώδικα, τόσο ανθεκτικότερος είναι ο κώδικας στα λάθη.

Η μαγεία της διόρθωσης

Φαντάσου ότι στέλνεις μια λέξη, αλλά το κανάλι κάνει ένα λάθος.
Αν ο κώδικας έχει σχεδιαστεί έτσι ώστε καμία νόμιμη λέξη να μην απέχει λιγότερο από 3 απόσταση από κάποια άλλη, τότε μπορείς πάντα να αναγνωρίσεις ποια ήταν η σωστή.

Αυτό είναι το περιεχόμενο του Θεωρήματος του Tolpygo (γνωστό και στη γενική μορφή του ως κριτήριο Hamming):

Αν η ελάχιστη απόσταση ενός κώδικα είναι $d \ge 2r + 1$ , τότε ο κώδικας μπορεί να διορθώσει έως και r λάθη.

Ένα μαθηματικό ανέκδοτο

Σε μια ρωσική εφημερίδα του 19ου αιώνα, ένα τυπογραφικό λάθος έκανε την επικεφαλίδα να λέει:

«Στο κεφάλι της Μεγαλειότητος τοποθετήθηκε το κοράκι.»
Αντί για «το στέμμα»!

Το λάθος προέκυψε επειδή στα ρωσικά οι λέξεις «κοράκι» και «στέμμα» διαφέρουν μόνο κατά ένα γράμμα — δηλαδή, έχουν απόσταση Hamming = 1.
Ένα μικρό λάθος, τεράστια αλλαγή νοήματος.

Κώδικες που «βλέπουν» τα λάθη

Ένα πρακτικό παράδειγμα:
Ας υποθέσουμε ότι μια πόλη έχει τηλεφωνικούς αριθμούς 6 ψηφίων.
Θέλουμε να τους σχεδιάσουμε έτσι ώστε κανένας αριθμός να μην απέχει λιγότερο από 2 ψηφία από οποιονδήποτε άλλο — έτσι ώστε, αν πληκτρολογηθεί ένα λάθος ψηφίο, η κλήση να μην πάει σε λάθος γραμμή.

Η λύση είναι εκπληκτικά κομψή:

Επιλέγουμε μόνο τους αριθμούς των οποίων το άθροισμα των ψηφίων είναι πολλαπλάσιο του 10.

Αυτό δημιουργεί έναν «ανιχνευτικό» κώδικα σφαλμάτων — ένα από τα πιο όμορφα παραδείγματα μαθηματικής κομψότητας σε καθημερινό πρόβλημα.

Από τον τηλέγραφο στα bits

Η θεωρία αυτή δεν είναι απλώς ιστορική.
Χωρίς αυτήν, κανένα email, καμία φωτογραφία, κανένα αρχείο δεν θα έφτανε ποτέ σωστά στον προορισμό του.
Τα error-correcting codes βρίσκονται πίσω από κάθε επικοινωνία που βασίζεται σε ψηφιακά δεδομένα — από τα Wi-Fi σήματα έως τα διαστημικά σήματα της NASA.