EisatoponAI: Πώς να βρείτε εύκολα τις συναρτήσεις sin n x και cos n x: Η μέθοδος του Pascal και του Fuchs

Από το τρίγωνο του Pascal στις πολλαπλές γωνίες

Όλοι οι μαθητές κάποια στιγμή χρειάζεται να υπολογίσουν εκφράσεις όπως sin 3x, cos 5x, ή sin 10x.
Φυσικά, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει τις γνωστές τριγωνομετρικές σχέσεις πρόσθεσης (π.χ. sin(a + b), cos(a + b)), όμως η επαναλαμβανόμενη εφαρμογή τους είναι κουραστική και επιρρεπής σε λάθη.

Ο Ρώσος μαθηματικός Dmitry Fuchs πρότεινε μια έξυπνη και εύκολα απομνημονεύσιμη μέθοδο βασισμένη στο τρίγωνο του Pascal — χωρίς περίπλοκους υπολογισμούς ή θεωρήματα.

Η ιδέα

Γράψε την n-οστή σειρά του τριγώνου του Pascal.
Για κάθε στοιχείο της σειράς (τους συντελεστές binomial), γράψε δίπλα τα γινόμενα:

$\cos^n x,\; \cos^{n-1}x\sin x,\; \cos^{n-2}x\sin^2x,\; \dots,\; \sin^n x$

Στη συνέχεια:

Υπογράμμισε τους όρους σε ζυγές θέσεις (2η, 4η, 6η κ.λπ.)
Οι μη υπογραμμισμένοι δίνουν το cos n x, με εναλλασσόμενα + – + –
Οι υπογραμμισμένοι δίνουν το sin n x, επίσης με εναλλασσόμενα πρόσημα.

Κι έτσι έχεις τις σχέσεις χωρίς απομνημόνευση τύπων!

Παραδείγματα

Για n = 2

Γραμμή 2: 1 2 1

$\cos 2x = \cos^2x - \sin^2x,\quad \sin 2x = 2\sin x\cos x$

Για n = 3

Γραμμή 3: 1 3 3 1

$\cos 3 x = \cos^{3} x - 3 \cos x \sin^{2} x, \sin 3 x = 3 \cos^{2} x \sin x - \sin^{3} x$

Η μέθοδος λειτουργεί για κάθε n — και αποδεικνύεται εύκολα με μαθηματική επαγωγή ή με το Θεώρημα του De Moivre.

Γιατί είναι χρήσιμη

Η προσέγγιση του Fuchs προσφέρει:

Ταχύτητα: υπολογισμός χωρίς επαναλαμβανόμενη χρήση ταυτοτήτων.
Ακρίβεια: μικρότερη πιθανότητα λάθους.
Οπτική κατανόηση: σύνδεση αλγεβρικών και γεωμετρικών προτύπων.

Είναι επίσης μια εξαιρετική διδακτική μέθοδος, γιατί δείχνει πώς η συνδυαστική (μέσω του Pascal) συνδέεται με την τριγωνομετρία.

Ένα κομμάτι ιστορίας

Ο Fuchs παρουσίασε τη μέθοδό του στο περιοδικό Quantum, ένα από τα πιο αγαπημένα μαθηματικά περιοδικά της δεκαετίας του ’90, γνωστό για τα καλαίσθητα και παιδαγωγικά άρθρα του.
Από τότε, η «μέθοδος του Pascal» για sin n x και cos n x έχει καθιερωθεί ως ένα κομψό εργαλείο τόσο για μαθητές όσο και για δασκάλους των μαθηματικών.