Το Επίπεδο Sorgenfrey και η Αντιδιαγώνιος

Το επίπεδο Sorgenfrey (Sorgenfrey plane) είναι ένα από τα πιο χαρακτηριστικά και διδακτικά παραδείγματα στη γενική τοπολογία. Ορίζεται ως το καρτεσιανό γινόμενο R_l × R_l, όπου το R_l είναι η τοπολογία του κάτω ορίου (lower limit topology), γνωστή και ως τοπολογία του Sorgenfrey.

Η βάση της τοπολογίας στο R_l αποτελείται από διαστήματα της μορφής [a, b) = { x ∈ ℝ : a ≤ x < b }. Παίρνοντας το καρτεσιανό γινόμενο αυτών των βασικών διαστημάτων, αποκτούμε μια τοπολογία στο επίπεδο που παρουσιάζει ιδιότητες ριζικά διαφορετικές από εκείνες της συνηθισμένης ευκλείδειας τοπολογίας.

Εικόνα 1. Το επίπεδο Sorgenfrey και η αντιδιαγώνιος −Δ (η γραμμή y = −x). Τα καφέ ορθογώνια υποδηλώνουν βασικά ανοικτά σύνολα της μορφής [x, x+1) × [−x, −x+1).

Η Αντιδιαγώνιος

Ορίζουμε την αντιδιαγώνιο του επιπέδου Sorgenfrey ως το σύνολο −Δ = {{ (x, −x) ∣ x ∈ R_l }}. Η −Δ είναι κλειστός υποχώρος του επιπέδου, αλλά στην υποτοπολογία γίνεται διακριτός: για κάθε σημείο (x, −x) υπάρχει βασικό ορθογώνιο της μορφής [x, x+1) × [−x, −x+1) που το περιέχει μόνο αυτό.

Εικόνα 2. Ένα ανοικτό ορθογώνιο στο επίπεδο Sorgenfrey που τέμνει την αντιδιαγώνιο σε ένα μόνο σημείο.

Αξιώματα Αριθμητότητας

• Το επίπεδο Sorgenfrey είναι πρώτα μετρήσιμο (first countable).
• Είναι διαχωρίσιμο, αφού το ℚ² είναι πυκνό.
• Δεν είναι Lindelöf, άρα δεν είναι δευτέρας μέτρησης (δεν διαθέτει μετρήσιμη βάση).

Αξιώματα Διαχωρισμού

• Το επίπεδο Sorgenfrey είναι κανονικό (regular), ως καρτεσιανό γινόμενο κανονικών χώρων.
• Δεν είναι κανονικοποιήσιμο (normal): η αντιδιαγώνιος −Δ δείχνει ότι δεν υπάρχουν ξένα ανοικτά σύνολα που να διαχωρίζουν ένα A ⊆ −Δ από το −Δ \\ A.

Συμπέρασμα

Το επίπεδο Sorgenfrey αναδεικνύει καθαρά τη διάκριση ανάμεσα στην κανονικότητα, την ιδιότητα Lindelöf και τη δεύτερη μέτρηση. Για αυτό αποτελεί κλασικό και ιδιαίτερα χρήσιμο παράδειγμα στη διδασκαλία της γενικής τοπολογίας.