Οι Πίνακες του Πτολεμαίου – Το Ξεκίνημα
Η ιδέα μιας εξάρτησης μεταξύ δύο μεγεθών εμφανίζεται υπονοούμενα ήδη στην αρχαιότητα.
Στην Αλμαγέστη του Κλαύδιου Πτολεμαίου (2ος αι. μ.Χ.), οι πίνακες χορδών περιείχαν δύο στήλες:
-
στη μία, τα μήκη των τόξων,
-
στην άλλη, τα μήκη των αντίστοιχων χορδών.
Με τη σύγχρονη οπτική, θα λέγαμε ότι ο Πτολεμαίος παρουσίαζε τη “συνάρτηση” που συσχετίζει το τόξο ενός κύκλου με τη χορδή του — δηλαδή την πρώιμη μορφή του ημιτόνου.
Αιώνες αργότερα, οι λογαριθμικοί πίνακες των αρχών του 17ου αιώνα θα αναδείκνυαν ξανά αυτή την ιδέα: κάθε τιμή συνδέεται με μία άλλη, μέσα από έναν σταθερό νόμο.
Από τη Γεωμετρία στην Ανάλυση
Η μεγάλη τομή ήρθε τον 17ο αιώνα με τη δημιουργία της Άλγεβρας και της Αναλυτικής Γεωμετρίας.
Ο René Descartes, στο έργο του La Géométrie (1637), παρουσίασε τη μέθοδο με την οποία μια καμπύλη μπορεί να οριστεί από μια εξίσωση δύο μεταβλητών .
Για πρώτη φορά, μια γεωμετρική μορφή μπορούσε να περιγραφεί αναλυτικά, δηλαδή με σύμβολα και αριθμούς. Έτσι γεννήθηκε η ιδέα ότι μια συνάρτηση εκφράζει τη σχέση ανάμεσα σε μεταβλητές ποσότητες.
Ο Leibniz, ο Bernoulli και ο Euler
Ο όρος function (συνάρτηση) εμφανίζεται για πρώτη φορά το 1673 από τον Leibniz στο έργο Methodus tangentium inversa seu de functionibus.
Ακολούθησε ο Johann Bernoulli (1718), που έδωσε τον πρώτο γενικό ορισμό:
«Συνάρτηση ενός μεταβλητού μεγέθους ονομάζω κάθε ποσότητα που σχηματίζεται με οποιονδήποτε τρόπο από αυτό και από σταθερές.»
Ο Leonhard Euler (1748) εδραίωσε την ιδέα ότι κάθε συνάρτηση είναι μια αναλυτική έκφραση — μια εξίσωση που συνδέει το με το .
Αλλά η ιστορία δεν σταμάτησε εκεί.
Από την Εξίσωση στη Σχέση
Τα φυσικά προβλήματα του 18ου αιώνα, όπως η παλλόμενη χορδή , ανάγκασαν τους μαθηματικούς να επεκτείνουν την έννοια της συνάρτησης πέρα από τις απλές εξισώσεις.
Ο Euler (1755) έγραψε:
«Αν κάποιες ποσότητες εξαρτώνται από άλλες με τέτοιο τρόπο ώστε, όταν οι τελευταίες αλλάζουν, αλλάζουν και οι πρώτες, τότε οι πρώτες ονομάζονται συναρτήσεις των τελευταίων.»
Έτσι, η συνάρτηση έπαψε να ταυτίζεται μόνο με τύπους· έγινε σχέση αντιστοιχίας ανάμεσα στα στοιχεία δύο συνόλων.
Ο Fourier (1822) το διατύπωσε ρητά:
«Η f(x) μπορεί να αναπαριστά οποιαδήποτε διαδοχή τιμών — δεν χρειάζεται να υπακούει σε κοινό νόμο.»
Η Γέννηση της Συνέχειας
Τον 18ο αιώνα, οι μαθηματικοί μιλούσαν για “συνεχείς” συναρτήσεις με διαισθητικό τρόπο:
μια καμπύλη χωρίς διακοπές ή ένα φαινόμενο που υπακούει στον ίδιο νόμο.
Όμως, ο Cauchy (1821) απαίτησε λογική αυστηρότητα:
«Μια συνάρτηση είναι συνεχής, αν μια απειροελάχιστη μεταβολή της μεταβλητής προκαλεί μια απειροελάχιστη μεταβολή της τιμής της.»
Αυτός ήταν ο πρώτος μαθηματικά ακριβής ορισμός της συνέχειας — θεμέλιο της σύγχρονης ανάλυσης.
Η Έννοια του Ορίου
Η έννοια του ορίου υπήρξε καθοριστική.
Ο d’Alembert (1765) την όρισε ως την ποσότητα που «προσεγγίζεται χωρίς ποτέ να φτάνεται».
Αργότερα, ο Weierstrass (19ος αι.) απογύμνωσε την έννοια από κάθε φυσική ή κινηματική ερμηνεία και της έδωσε αριθμητική αυστηρότητα με τη χρήση ανισοτήτων και απόλυτης τιμής:
έτσι δημιουργήθηκε ο σημερινός ε-δ ορισμός του ορίου, θεμέλιο κάθε μαθηματικής απόδειξης.
Από την Εποπτεία στη Λογική
Η εξέλιξη της έννοιας της συνάρτησης αντικατοπτρίζει την πορεία των μαθηματικών από τη γεωμετρική εποπτεία στη λογική αυστηρότητα.
Από τους πίνακες του Πτολεμαίου, μέχρι τις εξισώσεις του Euler και τον ορισμό του Weierstrass, η συνάρτηση μεταμορφώθηκε από απλή περιγραφή σε αφηρημένη έννοια.
Και αυτή η μετάβαση ήταν ίσως το πιο καθοριστικό βήμα στην ιστορία της Μαθηματικής Ανάλυσης.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου