Ο Τύπος του Willans: Μια εντυπωσιακή εξίσωση για τον n-οστό πρώτο αριθμό

Οι πρώτοι αριθμοί βρίσκονται στον πυρήνα της αριθμητικής και της θεωρίας των αριθμών. Από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα, μαθηματικοί αναζητούν τρόπους να περιγράψουν ή να προβλέψουν την ακολουθία των πρώτων, οι οποίοι φαίνονται να κατανέμονται χαοτικά αλλά κρύβουν βαθιά μαθηματική τάξη.

Το 1964, ο μαθηματικός Willans παρουσίασε μια εξίσωση που, αν και πολύπλοκη, μπορεί να παράγει άμεσα τον n-οστό πρώτο αριθμό, δηλαδή τον αριθμό $p_n$. Η εξίσωση είναι η εξής:

Αν και φαίνεται αινιγματική, η φόρμουλα του Willans έχει μια συγκεκριμένη μαθηματική λογική:

• Χρησιμοποιεί παραγοντικά (factorials), συναρτήσεις συνημιτόνου (cos) και ακέραια μέρη (floor), για να ελέγχει αν κάθε αριθμός είναι πρώτος.

• Οι γωνιακές ιδιότητες της συνάρτησης συνημιτόνου επιτρέπουν στην εξίσωση να «αναγνωρίζει» τους πρώτους αριθμούς με τρόπο απόλυτα ντετερμινιστικό.

• Ο τύπος δεν χρειάζεται προηγούμενους πρώτους· υπολογίζει απευθείας τον n-οστό!

Παρόλο που η εξίσωση δεν είναι πρακτική για μεγάλους υπολογισμούς, καθώς περιλαμβάνει επαναλαμβανόμενες πράξεις και υπολογισμό παραγοντικών, έχει θεωρητική αξία: αποδεικνύει ότι υπάρχει ρητή μαθηματική έκφραση για κάθε πρώτο αριθμό.

Η σημασία του τύπου του Willans είναι εννοιολογική. Δείχνει ότι οι πρώτοι, αν και φαίνονται «τυχαίοι», μπορούν να παραχθούν με απόλυτη ακρίβεια από έναν καθαρό μαθηματικό νόμο. Η εξίσωση αυτή αποτελεί ένα κομψό παράδειγμα μαθηματικής δημιουργικότητας, που γεφυρώνει την αναλυτική λογική με την αισθητική της μαθηματικής μορφής.

Όπως έχει ειπωθεί, «οι πρώτοι αριθμοί είναι η μουσική των αριθμών — και ο τύπος του Willans είναι μία από τις πιο ακριβείς παρτιτούρες τους.»