Το Θεώρημα του Zsigmondy: Μια Κρυφή Πύλη στους Πρώτους Αριθμούς

Ο Karl Zsigmondy (1826–1925) ήταν Αυστριακός μαθηματικός που άφησε πίσω του ένα από τα πιο όμορφα και ισχυρά αποτελέσματα της θεωρίας αριθμών: το Θεώρημα του Zsigmondy (1882).

Το θεώρημα αναφέρει:

Αν $a, b$ είναι θετικοί ακέραιοι με $a > b$ και $\gcd(a,b)=1$, τότε για κάθε $n ≥ 2$ υπάρχει τουλάχιστον ένας πρώτος διαιρέτης του $a^n - b^n$ που δεν διαιρεί κανέναν από τους προηγούμενους όρους $a^k - b^k$, με $k < n$.

⚠️ Εξαιρέσεις

Υπάρχουν δύο εξαιρετικές περιπτώσεις:

• $2^6 - 1 = 63$, όπου δεν εμφανίζεται νέος πρώτος, και

• $a=2,b=1,n=1$.

Η ομορφιά του θεωρήματος έγκειται στο ότι αποκαλύπτει τον ατέρμονο πλούτο των πρώτων μέσα στις εκθετικές διαφορές.