EisatoponAI: Το Μυστικό των Αριθμών 1001 και 10001: Εντυπωσιακά Ψηφιακά Κόλπα

Αριθμητικό κόλπο με επανάληψη τριψήφιου αριθμού και διαδοχικές διαιρέσεις με 7, 11 και 13.

Θέλετε να «μαντεύετε» αριθμούς μετά από λίγες διαιρέσεις; Τα παρακάτω δύο κόλπα δουλεύουν πάντα, γιατί βασίζονται σε κομψούς παραγοντισμούς όπως
1001 = 7×11×13 και 10001 = 73×137.

🎩 Κόλπο 1: Ο τριψήφιος που «επιστρέφει»

Διαδικασία (για φίλο/παίκτη):

Σκέψου έναν τριψήφιο αριθμό, π.χ. 123.
Επανάλαβέ τον για να φτιάξεις εξαψήφιο: 123123.
Δίαιρεσε διαδοχικά με 7, μετά με 11, μετά με 13.
Δώσε μου το τελικό αποτέλεσμα — θα είναι ο αρχικός σου αριθμός (εδώ: 123).

Γιατί δουλεύει:
Η επανάληψη ενός τριψήφιου $ABC$ σε εξαψήφιο είναι:

$ABC123 = ABC\times 1001,\quad \text{με}\quad 1001=7\cdot 11\cdot 13.$

Άρα

$\frac{ABC\times 1001}{7\cdot 11\cdot 13}=ABC.$

Παράδειγμα:
$123123/7=17589$ , $17589/11=1599$ , $1599/13=\mathbf{123}$ .

🎯 Κόλπο 2: Επανάληψη και… απογείωση

(α) Διψήφιος επαναλαμβανόμενος τρεις φορές

Πες ότι ο φίλος διαλέγει διψήφιο $N$ (π.χ. 37) και φτιάχνει εξαψήφιο NNNNNN (π.χ. 373737).
Ζήτησέ του να διαιρέσει διαδοχικά με 3, 7, 13, 37 — επιστρέφει στο $N$ .

Αιτία:

$NNNNNN = N\times 10101,\quad \text{και}\quad 10101=3\cdot 7\cdot 13\cdot 37.$

Άρα $\dfrac{N\times 10101}{3\cdot 7\cdot 13\cdot 37}=N$ .

(β) Τετραψήφιος επαναλαμβανόμενος δύο φορές

Αν κάποιος διαλέξει τετραψήφιο $M$ (π.χ. 2025) και φτιάξει οκταψήφιο M (π.χ. 20252025), τότε
διαίρεση με 73 και έπειτα με 137 δίνει ξανά τον αρχικό τετραψήφιο.

Αιτία:

$M M = M \times (10^{4} + 1) = M \times 10001, 10001 = 73 \cdot 137.$

🧠 Γενικός κανόνας (για πιο προχωρημένους)

Επανάληψη k-ψήφιου αριθμού δύο φορές ⇒ πολλαπλασιασμός με $10^k+1$ .
Αν γνωρίζετε την παραγοντοποίησή του, ζητάτε αντίστοιχες διαιρέσεις και «επιστρέφετε» στον αρχικό.
Επανάληψη k-ψήφιου αριθμού τρεις φορές ⇒ πολλαπλασιασμός με $10^{2k}+10^k+1$ .
Για $k=2$ : $10^{4}+10^{2}+1=10101=3\cdot 7\cdot 13\cdot 37$ .
Για $k=3$ : $10^{6}+10^{3}+1=1001001=7\cdot 11\cdot 13\cdot \mathbf{?}$ (εδώ δεν χρειάζεται για το κόλπο 1, γιατί η διπλή επανάληψη τριψήφιου είναι $1001$ ).

✅ Γρήγορη σύνοψη οδηγιών για performance

Τριψήφιος → κάν’ τον εξαψήφιο επαναλαμβάνοντάς τον → /7 → /11 → /13 → βγαίνει αρχικός.
Τετραψήφιος → επανάληψη δύο φορές (οκταψήφιος) → /73 → /137 → βγαίνει αρχικός.
Διψήφιος → επανάληψη τρεις φορές (εξαψήφιος) → /3 → /7 → /13 → /37 → βγαίνει αρχικός.