Triangular Dissection of the 3-4-5 Pythagorean Square Pattern with 56 Identical Tiles

Διάσπαση των τετραγώνων 3–4–5 σε 56 όμοια τρίγωνα

Το κλασικό Πυθαγόρειο σχήμα του τριγώνου 3–4–5 μπορεί να οργανωθεί με τέτοιο τρόπο ώστε τα τρία τετράγωνα στις πλευρές του να διαμερίζονται συνολικά σε 56 πανομοιότυπα τρίγωνα. Κάθε μικρό τρίγωνο είναι όμοιο με το τρίγωνο 1–2–√5.

Η ιδέα πίσω από την κατασκευή

Θεωρούμε γωνία \( \alpha \) με \( \tan\alpha = \tfrac{1}{2} \) — δηλαδή την οξεία γωνία ενός τριγώνου όμοιου με 1–2–√5. Η διπλή γωνία ικανοποιεί:

\( \tan(2\alpha)=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} =\frac{2\cdot\frac12}{1-(\frac12)^2} =\frac{4}{3}. \)

Το ζεύγος κλίσεων \((\tfrac12,\,\tfrac43)\) ταιριάζει ακριβώς με τις κλίσεις των πλευρών του τριγώνου 3–4–5. Αν “στρώσουμε” μέσα στα τρία τετράγωνα ευθείες με τις δύο αυτές κλίσεις, οι ακμές τους κουμπώνουν τέλεια μεταξύ τους και δημιουργούν ενιαία τριγωνικά πλακίδια.

Η τομή των γραμμών στο κοινό σημείο των τριών τετραγώνων σχηματίζει ένα χαρακτηριστικό “αστέρι”. Από εκεί, όλες οι ευθείες συνεχίζουν παράλληλα και ομόρροπα, ώστε κάθε κομμάτι που προκύπτει να είναι τρίγωνο όμοιο με 1–2–√5. Το τελικό πλήθος είναι ακριβώς 56.

Τι κερδίζουμε μαθηματικά

• Ενιαίο πλακίδιο: Τα τρία τετράγωνα καλύπτονται πλήρως από το ίδιο ακριβώς τριγωνικό σχήμα, χωρίς κενά ή επικαλύψεις.
• Σύνδεση γωνιών: Οι κλίσεις \(\tfrac12\) και \(\tfrac43\) εξηγούν γιατί οι τομές συμβαδίζουν με τις πλευρές 3, 4 και 5.
• Οπτική απόδειξη: Η διάσπαση δίνει μια όμορφη γεωμετρική απεικόνιση της σχέσης 3² + 4² = 5².

Dissecting the 3–4–5 Pythagorean Squares into 56 Identical Triangles

The classical Pythagorean figure built on the 3–4–5 triangle can be arranged so that its three squares are subdivided into a total of 56 congruent triangles. Every small triangle is similar to the triangle 1–2–√5.

The idea behind the construction

Consider an angle \( \alpha \) with \( \tan\alpha = \tfrac12 \), which is the acute angle of a triangle similar to 1–2–√5. The double angle satisfies:

\( \tan(2\alpha)=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} =\frac{2\cdot\frac12}{1-(\frac12)^2} =\frac{4}{3}. \)

The pair of slopes \((\tfrac12,\,\tfrac43)\) matches precisely the slopes of the sides of the 3–4–5 triangle. If we fill the squares with lines of these slopes, their intersections align perfectly, producing a unified triangular tiling.

At the junction of the three squares, the lines form a characteristic “star”. From there, they extend as parallel and consistent rays, producing triangles each similar to 1–2–√5. The final count is exactly 56.

Mathematical insights

• Single tile type: All three squares are fully tiled by identical triangles.
• Angle relations: The slopes \(\tfrac12\) and \(\tfrac43\) explain their alignment with the 3–4–5 sides.
• Visual proof: The dissection provides a geometric illustration of 3² + 4² = 5².