Hardy: Ένα ... πολύ άρρητο άθροισμα κυβικών ριζών που είναι ρητό

Πηγή: G. H. Hardy, A Course of Pure Mathematics (κλασική άσκηση για κυβικές ρίζες και την ταυτότητα του αθροίσματος).

Θεώρηση. Έστω $a,b\in\mathbb{R}$ με

$$(a-b^{2})\,b>0$$

ώστε οι παρακάτω κυβικές ρίζες να είναι πραγματικές. Δείξτε ότι ο αριθμός

είναι ρητός.

Ιδέα. Θέστε $x^3=a+\dfrac{9b}{a-b^2}$, $y^3=a-\dfrac{9b}{a-b^2}$ και $S=x+y$. Χρησιμοποιήστε την ταυτότητα

$$(x+y)^3 \;=\; x^3+y^3+3xy(x+y).$$

Απόδειξη 
Με τους ορισμούς

$$x^3=a+\frac{9b}{a-b^2},\qquad y^3=a-\frac{9b}{a-b^2},\qquad S=x+y,$$

έχουμε

$$x^3+y^3 \;=\; 2a, \qquad (xy)^3 \;=\; x^3y^3 \;=\; a^2-\frac{81\,b^2}{(a-b^2)^2}.$$

Η ταυτότητα $(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$ δείχνει ότι το $S$ ικανοποιεί

$$S^3-3(xy)\,S-2a=0.$$

$$\boxed{\;\bigl(S^3-2a\bigr)^3 \;=\; 27\,\Bigl(a^2-\dfrac{81\,b^2}{(a-b^2)^2}\Bigr)\,S^3\;}. \tag{*}$$

Τώρα ελέγχουμε ότι

$$S_0\;=\;\frac{3b}{\,a-b^2\,}$$

ικανοποιεί την $(*)$. Πράγματι, $S_0^3=\dfrac{27\,b^3}{(a-b^2)^3}$, οπότε η υποκατάσταση στην $(*)$ (απλός αλλά τυπικός υπολογισμός) μηδενίζει και τις δύο πλευρές. Άρα το $S$ είναι πραγματική ρίζα ενός πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές που έχει γνωστή ρητή ρίζα $S_0$, και επομένως

$$\boxed{\;S=\frac{3b}{\,a-b^2\,}\in\mathbb{Q}\;}$$

όταν $a,b\in\mathbb{Q}$. Η υπόθεση $(a-b^2)b>0$ διασφαλίζει ότι παίρνουμε τις πραγματικές (κύριες) κυβικές ρίζες.

---

Παράδειγμα

Ας πάρουμε $a=5$, $b=1$. Τότε $(a-b^2)b=(5-1)\cdot1=4>0$ και

$$S \;=\; \sqrt[3]{\,5+\frac{9}{4}\,}\;+\;\sqrt[3]{\,5-\frac{9}{4}\,} \;=\; \sqrt[3]{\,\frac{29}{4}\,}\;+\;\sqrt[3]{\,\frac{11}{4}\,}.$$

Ο τύπος δίνει

$$S=\frac{3b}{a-b^2}=\frac{3}{4}.$$

Πράγματι, αν θέσουμε $S=\tfrac{3}{4}$ στην εξίσωση $(*)$, επαληθεύεται ακριβώς.