(√5+1)/(√5−1) Using the Arithmetic–Geometric Mean Inequality

Μια Διπλή Ανισότητα με τον Αριθμητικό - Γεωμετρικό Μέσο

Να αποδείξετε ότι ισχύει η διπλή ανισότητα:

e^2/√5 < \(\dfrac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}\) < e

Με τυπική στοιχειώδη ανάλυση (και αξιοποιώντας την ανισότητα Arithmetic–Logarithmic–Geometric Mean), πρέπει να δείξετε ότι:

• το κλάσμα \((\sqrt{5}+1)/(\sqrt{5}-1)\) είναι αυστηρά μεγαλύτερο από e^2/√5,
• και ταυτόχρονα αυστηρά μικρότερο από e,

χωρίς να βασιστείτε σε αριθμητικές προσεγγίσεις από υπολογιστή ή αριθμομηχανή, αλλά μόνο σε αναλυτικές εκτιμήσεις και ιδιότητες των εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων.

Bounding (√5+1)/(√5−1) via the Arithmetic–Logarithmic–Geometric Mean Inequality

Without using a calculator, prove that the following double inequality holds:

e^2/√5 < \(\dfrac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}\) < e

In other words, using only elementary analysis (and the AL–GM inequality), show that:

• the fraction \((\sqrt{5}+1)/(\sqrt{5}-1)\) is strictly greater than e^2/√5,
• and at the same time strictly less than e,

without relying on numerical approximations from a computer or calculator, but only on analytic estimates and basic properties of exponential and logarithmic functions.