Can the Christmas Paper Crown Be Refolded From a Different Pair of Opposite Points?

Μπορεί να Ξαναδιπλωθεί το Χριστουγεννιάτικο Χάρτινο Καπελάκι;

Ένα παραδοσιακό χριστουγεννιάτικο καπελάκι από cracker είναι στην πραγματικότητα μια κυκλική χάρτινη κορδέλα με οδοντωτή κορυφή. Πριν ανοίξει, είναι διπλωμένο επίπεδα ανάμεσα σε δύο αντίθετα σημεία A και E, και στη συνέχεια το δεξί μισό έχει διπλωθεί προς τα αριστερά τρεις φορές, όπως φαίνεται στα σχετικά διαγράμματα.

Αν ανοίξουμε ξανά την κορδέλα, παρατηρούμε ότι έχουν δημιουργηθεί διάφορες πτυχές (creases): κάποιες «δείχνουν» προς τα έξω (π.χ. βουνοπτυχές / mountain folds), ενώ άλλες προς τα μέσα (π.χ. κοιλοπτυχές / valley folds).

Το ερώτημα είναι το εξής:

Μπορούμε να επαναδιπλώσουμε την κορδέλα με τον ίδιο ακριβώς τρόπο,
αλλά αυτή τη φορά ξεκινώντας από ένα διαφορετικό ζεύγος αντιδιαμετρικών σημείων (όχι από τα A και E),
χωρίς να χρειαστεί να αντιστρέψουμε καμία από τις υπάρχουσες πτυχές;

Δηλαδή, υπάρχει άλλος τρόπος να επιλέξουμε δύο απέναντι σημεία στο στεφάνι της χάρτινης κορδέλας, ώστε τα ήδη υπάρχοντα «βουνά» και «κοιλάδες» να επιτρέπουν την ίδια ακριβώς ακολουθία διπλωμάτων, χωρίς να αναγκαστούμε να γυρίσουμε κάποια πτυχή από μέσα προς τα έξω ή το αντίστροφο;

Can the Christmas Paper Crown Be Refolded from Different Opposite Points?

A traditional Christmas cracker hat is essentially a circular paper band with a zigzag (toothed) top. Before being opened, it is folded flat between two opposite points A and E, and then the right half is folded over to the left three times, as shown in the diagrams.

When we unfold the band again, we observe that a pattern of creases has been created: some folds “point” outwards (mountain folds), while others “point” inwards (valley folds).

The question is:

Can we refold the paper crown in exactly the same way,
but this time starting from a different pair of diametrically opposite points (not A and E),
without having to reverse any of the existing creases?

In other words, is there another choice of opposite points on the circular band such that the existing pattern of mountain and valley folds still allows the same folding sequence, without needing to flip any crease from valley to mountain or vice versa?