Τύποι Τριγώνου: Νόμος Ημιτόνου, Νόμος του Συνημιτόνου (Al-Kashi) και ο Τύπος του Ήρωνα

Στο προσανατολισμένο επίπεδο, θεωρούμε ένα τρίγωνο $ABC$ μη εκφυλισμένο και προσανατολισμένο κατά τη θετική φορά (δηλαδή, ξεκινώντας από το σημείο $A$ προς το $B$, και από το $B$ προς το $C$, περιστρεφόμαστε κατά τη θετική φορά).

Θέτουμε:

$$a = BC,\quad b = CA,\quad c = AB,\quad \hat{A} = \angle BAC,\quad \hat{B} = \angle CBA,\quad \hat{C} = \angle ACB,$$

και $S$ το εμβαδόν του τριγώνου $ABC$.

Σημειώνουμε επίσης:

• $R$: η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$,

• $r$: η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του $ABC$,

• $p = \frac{1}{2}(a + b + c)$: το ημιπερίμετρο του τριγώνου.

---

1. Να δείξετε ότι:

$$\det (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) = \det (\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}) = \det (\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}) = 2S.$$

2. Από αυτό να αποδειχθεί ο τύπος του Ημιτόνου:

$$\frac{a}{\sin\hat{A}} = \frac{b}{\sin\hat{B}} = \frac{c}{\sin\hat{C}} = \frac{abc}{2S} = 2R.$$

3. Να αποδειχθούν οι Τύποι του Al-Kashi (Γενίκευση του Πυθαγόρειου σε οποιοδήποτε τρίγωνο):

$$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos\hat{A},$$
$$b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2ca\cos\hat{B},$$
$$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos\hat{C}.$$
$$$$

4. Από τους δύο τελευταίους τύπους να εξαχθεί η Φόρμουλα του Heron:

$$S = \frac{1}{2}bc\sin\hat{A} = \frac{abc}{4R},$$

και τελικά: