Πώς Ολοκληρώνουμε Εκφράσεις με Αντίστροφες Συναρτήσεις

🔍 Ιδέα – Το «Κόλπο» του Parker

Έστω ότι η συνάρτηση $f$ είναι αντιστρέψιμη, και $y = f^{-1}(x)$. Τότε:

$$x = f(y) \quad \text{και} \quad dx = f'(y)\,dy.$$

Άρα το ολοκλήρωμα:

$$\int f^{-1}(x)\,dx$$

μετατρέπεται σε:

$$\int y \cdot f'(y)\,dy.$$

Κάνουμε ολοκλήρωση κατά παράγοντες (integration by parts):

$$\int y f'(y)\,dy = y f(y) - \int f(y)\,dy.$$

Επομένως,

$$\boxed{\int f^{-1}(x)\,dx = y f(y) - \int f(y)\,dy.}$$

Αυτό απλοποιεί πολύ τους υπολογισμούς.

---

✅ Παράδειγμα:

$$\int \sin^{-1}(x)\,dx$$

Βήματα:

1. Θέτουμε

$$y = \sin^{-1}(x) \Rightarrow x=\sin y$$

2. Εφαρμόζουμε τον τύπο:

$$\int \sin^{-1}(x)\,dx = y\sin y - \int \sin y\,dy$$

3. Υπολογίζουμε:

$$\int \sin y\,dy = -\cos y$$

Άρα:

$$= y\sin y + \cos y$$

4. Επιστρέφουμε στη μεταβλητή $x$:

$$y = \sin^{-1}(x), \quad \cos y = \sqrt{1-x^2}$$✅ Τελικό αποτέλεσμα:

$$\boxed{{\displaystyle \int {\sin }^{-1}(x)dx=x{\sin }^{-1}(x)+\sqrt{1-x^2}+\mathrm{C.}}}$$