Πώς να Σχεδιάσεις μια Τέλεια Έλλειψη: Η Κλασική Μέθοδος με Πινέζες και Σχοινί

🔹 Τι είναι ένα οβάλ ή ελλειπτικό σχήμα;

Στη μαθηματική ορολογία, το οβάλ αναφέρεται ως έλλειψη.
Μια έλλειψη είναι το σύνολο όλων των σημείων (x, y) ενός επιπέδου, τέτοια ώστε το άθροισμα των αποστάσεών τους από δύο σταθερά σημεία (εστίες) να είναι σταθερό.

Αν οι εστίες είναι τα σημεία P₁ και P₂, τότε κάθε σημείο P(x, y) της έλλειψης ικανοποιεί:

PF₁ + PF₂ = \text{σταθερό}

Τα δύο σημεία στα οποία η έλλειψη τέμνει τον άξονα που ενώνει τις εστίες λέγονται κορυφές (M₁, M₂) και το ευθύγραμμο τμήμα που τις ενώνει λέγεται μείζων άξονας.

Η μέση κάθετος του μείζονος άξονα είναι ο ελάσσων άξονας, που τέμνει την έλλειψη στα σημεία m₁ και m₂.

---

🧮 Η εξίσωση της έλλειψης

Η τυπική εξίσωση μιας έλλειψης με κέντρο το σημείο (0, 0) είναι:

$\dfrac{x^2}{b^2} + \dfrac{y^2}{a^2} = 1$

όπου:

• b είναι το ήμισυ του μείζονος άξονα (M₁M₂)
• a είναι το ήμισυ του ελάσσονος άξονα (m₁m₂)

Αν το κέντρο βρίσκεται στο (h, k), τότε η εξίσωση γίνεται:

$\dfrac{(x - h)^2}{b^2} + \dfrac{(y - k)^2}{a^2} = 1$

---

✏️ Η μέθοδος με τις πινέζες και το σχοινί

Η πιο διαδεδομένη γεωμετρική μέθοδος για να σχεδιάσουμε μια έλλειψη είναι εξαιρετικά απλή:

1. Τοποθετούμε δύο πινέζες (P₁, P₂) συμμετρικά ως προς το κέντρο C.
2. Δένουμε γύρω τους ένα βρόχο από σχοινί μεγαλύτερο από την απόστασή τους.
3. Τεντώνουμε το σχοινί με τη μύτη ενός μολυβιού και το κινούμε κυκλικά, κρατώντας το πάντα τεντωμένο.

Το ίχνος του μολυβιού σχηματίζει μια τέλεια έλλειψη.

---

⚙️ Πώς καθορίζουμε το μέγεθος

Αν θέλουμε μια έλλειψη με:

• μήκος = 2b
• πλάτος = 2a

και αν ℓ είναι η απόσταση από το κέντρο C μέχρι το άκρο M₁ ή M₂, και b η απόσταση από το κέντρο ως κάθε πινέζα, τότε από το Πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει:

$b = \sqrt{ℓ^2 - a^2}$

Η περίμετρος του σχοινιού (μήκος S) πρέπει να είναι:

S = 2b + 2ℓ

---

🧰 Παράδειγμα: Κατασκευή κουτιού κοσμημάτων

Θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα οβάλ κουτί με:

• μήκος 300 mm
• πλάτος 170 mm

Έχουμε ℓ = 150, a = 85

$b = \sqrt{150^2 - 85^2} = 123.6$  mm

$S = 2b + 2ℓ = 2(123.6) + 2(150) = 547.2$ mm

👉 Οι πινέζες πρέπει να τοποθετηθούν 123.6 mm από το κέντρο
και το σχοινί πρέπει να έχει περίμετρο 547.2 mm.

---

💡 Συμπέρασμα

Με λίγη γεωμετρία και απλή άλγεβρα, μπορούμε να σχεδιάσουμε οποιοδήποτε οβάλ σχήμα με ακρίβεια.
Η μέθοδος αυτή, που χρησιμοποιείται από τεχνίτες, γλύπτες και ξυλουργούς εδώ και αιώνες, είναι ένα υπέροχο παράδειγμα όπου η μαθηματική θεωρία συναντά την καλλιτεχνική πράξη.