.jpg)
Μέθοδος των Απροσδιόριστων Συντελεστών για άθροισμα πεπερασμένης σειράς
🔹 Τι είναι;
Η Μέθοδος των Απροσδιόριστων Συντελεστών είναι μια κλασική τεχνική για να βρούμε κλειστό τύπο ενός πεπερασμένου αθροίσματος της μορφής $\sum_{k=1}^{n} f(k)$, γράφοντας το άθροισμα ως πολυώνυμο στο n με άγνωστους συντελεστές και προσδιορίζοντάς τους με εξίσωση συντελεστών.
Η βασική ιδέα είναι:
- Υποθέτουμε ότι το S(n) είναι πολυωνυμική συνάρτηση στο n.
- Χρησιμοποιούμε τη σχέση S(n+1) − S(n) για να βρούμε εξισώσεις στους συντελεστές.
- Εξισώνουμε συντελεστές σε δύο ίσα πολυώνυμα και λύνουμε το προκύπτον σύστημα.
🧮 Παράδειγμα: $S(n)=\sum_{k=1}^{n} k(k+1)$
Θα βρούμε κλειστό τύπο για το άθροισμα
$S(n)=\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = 1\cdot 2 + 2\cdot 3 + \cdots + n(n+1).$
1) Υπόθεση πολυωνύμου
Ο γενικός όρος k(k+1) είναι πολυώνυμο βαθμού 2 ως προς το k. Μπορούμε να δείξουμε (και γενικά ισχύει) ότι τότε το άθροισμα S(n) θα είναι πολυώνυμο βαθμού 3 ως προς το n:
$S(n) \equiv A_0 + A_1 n + A_2 n^2 + A_3 n^3.$
Οι συντελεστές $A_0, A_1, A_2, A_3$ είναι άγνωστοι και θα τους βρούμε από σχέσεις που προκύπτουν από το ίδιο το άθροισμα.
2) Σχέση μετατόπισης: S(n+1) ως προς S(n)
Από τον ορισμό:
$S(n+1) = \sum_{k=1}^{n+1} k(k+1) = S(n) + (n+1)(n+2).$
Άρα:
$S(n+1) - S(n) = (n+1)(n+2).$
Χρησιμοποιώντας την πολυωνυμική υπόθεση για το S(n), έχουμε:
$S(n) = A_0 + A_1 n + A_2 n^2 + A_3 n^3$,
$S(n+1) = A_0 + A_1 (n+1) + A_2 (n+1)^2 + A_3 (n+1)^3.$
Άρα η διαφορά είναι:
$S(n+1) - S(n) \equiv A_1 + A_2(2n+1) + A_3(3n^2+3n+1).$
3) Εξίσωση συντελεστών
Από την άλλη:
$(n+1)(n+2) = n^2 + 3n + 2.$
Ίσα πολυώνυμα στο n σημαίνει ίσους συντελεστές. Άρα:
$\begin{cases} n^2:\quad 1 = 3A_3 \Rightarrow A_3 = \frac{1}{3},\\[4pt] n:\quad 3 = 2A_2 + 3A_3 = 2A_2 + 1 \Rightarrow A_2 = 1,\\[4pt] 1:\quad 2 = A_1 + A_2 + A_3 = A_1 + 1 + \frac{1}{3} \Rightarrow A_1 = \frac{2}{3}. \end{cases}$
Για να βρούμε το $A_0$, αρκεί να χρησιμοποιήσουμε μια τιμή του αθροίσματος.
Για n=1 έχουμε:
$S(1) = 1\cdot 2 = 2.$
Άρα:
$2 = A_0 + \frac{2}{3} + 1 + \frac{1}{3} \Rightarrow A_0 = 0.$
4) Τελικός τύπος
Συγκεντρώνοντας τους συντελεστές:
$S(n)= \frac{1}{3}n^3 + n^2 + \frac{2}{3}n.$
Ο τύπος γράφεται πιο κομψά ως γινόμενο:
$\boxed{S(n)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}.}$
💡 Γιατί δουλεύει η μέθοδος;
Η διαφορά $S(n+1)-S(n)$ ισούται με τον γενικό όρο $f(n+1)$, που εδώ είναι πολυώνυμο βαθμού 2.
- Αν η διαφορά δύο πολυωνύμων είναι βαθμού 2, τότε το καθένα τους είναι το πολύ βαθμού 3.
- Συνεπώς, το S(n) είναι πολυώνυμο τρίτου βαθμού.
- Η ισότητα δύο πολυωνύμων για όλα τα n επιβάλλει ισότητα συντελεστών, άρα οι άγνωστοι συντελεστές προσδιορίζονται μονοσήμαντα.
Αυτή η ιδέα γενικεύεται για πολλά αθροίσματα όπου ο όρος είναι πολυώνυμο σε k.
🧰 Ασκήσεις με απάντηση
Άσκηση 1
Χρησιμοποιήστε την ίδια μέθοδο για να δείξετε ότι:
$\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$
Άσκηση 2
Δείξτε ότι:
$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^{3} = n^{2}\,(2n^{2}-1).$
Υπόδειξη: Υποθέστε ότι το άθροισμα είναι πολυώνυμο τέταρτου βαθμού στο n και εφαρμόστε ξανά τη μέθοδο των απροσδιόριστων συντελεστών.
📌 Τι να θυμάστε
- Όταν ο γενικός όρος είναι πολυώνυμο βαθμού m, το άθροισμα συνήθως είναι πολυώνυμο βαθμού m+1.
- Η σχέση S(n+1)-S(n) είναι το κλειδί για να φτιάξουμε εξισώσεις στους συντελεστές.
- Η μέθοδος είναι ισχυρό εργαλείο σε διαγωνισμούς, Ολυμπιάδες και ανάλυση.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου