Η ιστορία της Άλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών ξεκινά από ένα πρόβλημα που γοήτευσε τους μαθηματικούς για αιώνες: το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat.
🔹 Από τον Διόφαντο στον Fermat
Ο Διόφαντος ζήτησε να λυθεί η εξίσωση:
\[ x^2 + y^2 = z^2 \]δηλαδή οι γνωστές Πυθαγόρειες Τριάδες.
Ο Fermat έγραψε τη θρυλική φράση:
«Έχω μια θαυμάσια απόδειξη, αλλά δεν χωρά στο περιθώριο.»
Και έτσι γεννήθηκε η δήλωση:
\[ x^n + y^n = z^n \quad \text{δεν έχει λύση για } n>2. \]Ο Wiles την απέδειξε το 1995.
🔹 Πυθαγόρειες τριάδες
- \(3^2 + 4^2 = 5^2\)
- \(5^2 + 12^2 = 13^2\)
- \(8^2 + 15^2 = 17^2\)
Γενικός τύπος:
\[ x = ab,\quad y = \frac{a^2 - b^2}{2},\quad z = \frac{a^2 + b^2}{2}. \]🔹 Νέοι αριθμοί
Για να λύσουμε εξισώσεις όπως:
\[ x^2 + 2 = y^3, \]οι μαθηματικοί εισήγαγαν αριθμούς της μορφής:
\[ a + b\sqrt{-2}. \]🔹 Μη μοναδική παραγοντοποίηση
\[ 6 = 2\cdot 3 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}) \]Έτσι γεννήθηκαν τα ιδεώδη και οι αλγεβρικοί αριθμοί.
🔹 Από τον Euler στον Wiles
Ο Wiles χρησιμοποίησε ελλειπτικές καμπύλες και Modular Forms για να λύσει το θεώρημα.
🔹 Επίλογος
\[ x^n + y^n = z^n \]οδηγεί σε έναν ολόκληρο κόσμο: Άλγεβρική Θεωρία Αριθμών, όπου οι αριθμοί γίνονται «γεωμετρία» και «άλγεβρα» μαζί.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου