Μετασχηματισμοί του γραφήματος της λογαριθμικής συνάρτησης

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $y={\log }_{a}x$ όταν μετακινηθεί κατά τον διανυσματικό μετασχηματισμό $[p,q]$ μετατρέπεται στη συνάρτηση

$$f(x)={\log }_a(x-p)+q\mathrm{.}$$

Παράδειγμα α): Για τη συνάρτηση

$$f(x)={\log }_{2}x+3<br>$$

το γράφημα της $y = \log_{2} x$ μετατοπίζεται κατά $3$ μονάδες προς τα πάνω. Το πεδίο ορισμού είναι $D_{f} = (0; \infty)$ και η κάθετη ασύμπτωτη είναι η ευθεία $x=0$.

Παράδειγμα β): Για τη συνάρτηση

$$f(x) = \log_{\frac12} x - 3$$

το γράφημα της $y = \log_{\frac12} x$ μετατοπίζεται κατά $3$ μονάδες κάτω. Ισχύει πάλι $D_{f} = (0; \infty)$ και ασύμπτωτη $x = 0$.

Παράδειγμα γ): Για

$$f(x) = \log_{3}(x - 2)$$

το γράφημα της $y = \log_{3} x$ μετατοπίζεται δεξιά κατά $\mathrm{2.\; Ά\rho \alpha }$$D_{f} = (2; \infty)$ και η κάθετη ασύμπτωτη: $x = 2$.

Παράδειγμα δ): Για

$$f(x) = \log_{3}(x + 2)$$

το γράφημα της $y = \log_{3} x$ μετατοπίζεται αριστερά κατά $\mathrm{2.\; Ά\rho \alpha }$$D_{f} = (-2; \infty)$και ασύμπτωτη $x = -2$.

Επέκταση (πιο προχωρημένο):
Για τη συνάρτηση

$$f(x) = \bigl|\log_{3}(x - 2)\bigr|$$

πρώτα σχηματίζουμε το γράφημα της $y = \log_{3}(x - 2)$ όπως στο (γ). Έπειτα πραγματοποιούμε καθρέφτισμα (αντιμεταστροφή) του μέρους του γραφήματος που είναι κάτω από τον άξονα $x$ προς τα επάνω — αφού λαμβάνουμε την απόλυτη τιμή. Το πεδίο ορισμού είναι $D_{f} = (2; \infty)$ και η κάθετη ασύμπτωτη παραμένει $x = 2$. Το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι $ZW_{f} = \langle 0; \infty )$.

Άσκηση για εξάσκηση: 

Έστω ότι δίνεται το γράφημα της συνάρτησης $f(x) = \log_{2}(x - p)$.

• α) Να υπολογίσετε την τιμή του παραμέτρου $p$.

• β) Να σχεδιάσετε το γράφημα της συνάρτησης $y = |f(x)|$.

• γ) Να βρείτε όλες τις τιμές του $m$ για τις οποίες η εξίσωση $|f(x)| = m$ έχει δύο λύσεις με αντίθετα πρόσημα.