Ordering Complex Numbers… Not | Γιατί οι Μιγαδικοί Δεν Μπαίνουν σε Σειρά

Οι μιγαδικοί αριθμοί \( \mathbb{C} \) δεν μπορούν να μπουν σε σειρά με τον ίδιο τρόπο που μπαίνουν οι πραγματικοί, επειδή δεν είναι δυνατόν να οριστεί μια διάταξη που να είναι ταυτόχρονα ολική και συμβατή με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού.

✅ Τι σημαίνει «Διάταξη συμβατή με τις πράξεις»;

Μία διάταξη \( \le \) θεωρείται «καλή» αν τηρεί δύο βασικές αρχές:

1. Ολική Διάταξη

Για κάθε δύο αριθμούς \( a, b \), ισχύει είτε \( a \le b \) είτε \( b \le a \). Μπορούμε πάντα να τους συγκρίνουμε.

2. Συμβατότητα με Πρόσθεση & Πολλαπλασιασμό

• Αν \( a \le b \), τότε \( a + c \le b + c \) για κάθε \( c \).
• Αν \( a \le b \) και \( c \ge 0 \), τότε \( ac \le bc \).

Οι πραγματικοί αριθμοί έχουν και τις δύο ιδιότητες. Οι μιγαδικοί αριθμοί, όμως, όχι.

🧠 Η Αλγεβρική Απόδειξη της Αδυναμίας

Η βασική απαίτηση για ένα διατεταγμένο σώμα (όπως είναι οι πραγματικοί αριθμοί) είναι: το τετράγωνο κάθε μη-μηδενικού στοιχείου πρέπει να είναι θετικό \((\ge 0)\).

1. Υπόθεση: Έστω ότι υπάρχει συμβατή ολική διάταξη στη \( \mathbb{C} \). Τότε, για κάθε \( z \ne 0 \), πρέπει να ισχύει \( z^2 \ge 0 \).
2. Εφαρμογή στο \( i \): \( i^2 \ge 0 \).
3. Αντίφαση: Όμως \( i^2 = -1 \Rightarrow -1 \ge 0 \), που είναι ψευδές στους πραγματικούς (γνωρίζουμε ότι \( -1 < 0 \)).

Άρα, η υπόθεση είναι λανθασμένη: δεν μπορεί να υπάρξει τέτοια διάταξη στη \( \mathbb{C} \).

🗺️ Γεωμετρικός Λόγος: Η Διάσταση Αλλάζει Όλα

Σύγκριση πραγματικών και μιγαδικών ως προς τη διάταξη

Πραγματικοί	Μιγαδικοί
Υπάρχουν σε ευθεία γραμμή (1Δ)	Υπάρχουν σε επίπεδο (2Δ)
Υπάρχει «δεξιά» και «αριστερά»	Δεν υπάρχει μία μοναδική κατεύθυνση ανάπτυξης
Η αύξηση έχει γραμμικό νόημα	Ο πολλαπλασιασμός εμπεριέχει και                           περιστροφή (γωνία) και κλίμακα

Στους μιγαδικούς, ο πολλαπλασιασμός αλλάζει τόσο το μέγεθος όσο και τη γωνία· η γωνία δεν μπορεί να ενταχθεί σε γραμμική διάταξη που να είναι συμβατή με τις πράξεις.

Παρατηρήσεις για «προσπάθειες» διάταξης:
• Η «συνιστωσών» διάταξη \((a+bi \le c+di \iff a\le c \text{ και } b\le d)\) είναι μερική (πολλοί αριθμοί ασύγκριτοι).
• Η λεξικογραφική διάταξη είναι ολική αλλά δεν είναι συμβατή με τον πολλαπλασιασμό.

🎯 Συμπέρασμα

Οι μιγαδικοί αριθμοί δεν μπορούν να μπουν σε σειρά με τρόπο που να σέβεται τις πράξεις τους. Η δομή τους είναι θεμελιωδώς δισδιάστατη και γεωμετρική, όχι γραμμική.