Πόσα σημεία μπορούν να τοποθετηθούν σε ένα επίπεδο έτσι ώστε η απόσταση μεταξύ οποιωνδήποτε δύο από αυτά να είναι ακέραιος αριθμός;
Η απάντηση εξαρτάται από το αν επιτρέπουμε ή όχι τα σημεία να βρεθούν στην ίδια ευθεία.
1. Επιτρέπεται να είναι όλα συνευθειακά
Αν τοποθετήσουμε όλα τα σημεία πάνω σε μία ευθεία (π.χ. αριθμογραμμή), τότε μπορούμε να διαλέξουμε οποιαδήποτε ακολουθία ακεραίων αποστάσεων:
Μπορούμε να συνεχίσουμε όσο θέλουμε.
✅ Υπάρχουν άπειρα τέτοια σύνολα.
Αυτό είναι αποτέλεσμα του Θεωρήματος Erdős–Anning (1945):
Αν ένα άπειρο σύνολο σημείων του επιπέδου έχει όλες τις αποστάσεις μεταξύ των σημείων ακέραιες, τότε όλα τα σημεία βρίσκονται σε μία ευθεία.
2. Δεν επιτρέπεται να υπάρχουν τρία σημεία στην ίδια ευθεία
Τώρα η συνθήκη γίνεται αυστηρότερη.
Εξετάζουμε μόνο σύνολα όπου κανένα τριπλέτο δεν είναι συνευθειακό.
Σε αυτή την περίπτωση, το αποτέλεσμα αλλάζει δραματικά:
-
Δεν μπορεί πλέον να υπάρχουν άπειρα σημεία
-
Το σύνολο είναι αναγκαστικά πεπερασμένο
Και γνωρίζουμε ότι:
✅ Υπάρχει σύνολο 6 σημείων με όλες τις αποστάσεις ακέραιες και κανένα τρία συνευθειακά.
⛔ Δεν υπάρχει σύνολο 7 σημείων με αυτές τις ιδιότητες.
Η κατασκευή των 6 σημείων είναι γνωστή ως Harborth configuration (1981).
Η απόδειξη ότι δεν υπάρχουν 7 είναι πολύ πιο δύσκολη και απαιτεί συνδυαστικά και αλγεβρικά επιχειρήματα.
Συνοπτικός Πίνακας
| Περιορισμός | Μέγιστος αριθμός σημείων |
|---|---|
| Επιτρέπονται συνευθειακά | Άπειρα |
| Απαγορεύονται τρία συνευθειακά | Μέχρι 6 |
Γιατί αυτό έχει ενδιαφέρον;
Η προσθήκη ή αφαίρεση ενός και μόνο γεωμετρικού περιορισμού αλλάζει εντελώς τη φύση του προβλήματος:
-
Με ακεραίες αποστάσεις και χωρίς περιορισμούς → άπειρο πλήθος.
-
Με ακεραίες αποστάσεις και χωρίς συνευθειακά τρίπλετα → αυστηρό άνω όριο.
Αυτό είναι κλασικό παράδειγμα γεωμετρικής δομής που καθορίζεται από μια απλή, αλλά βαθιά, συνθήκη.
Περαιτέρω ανάγνωση
-
Erdős, P. & Anning, J. (1945) — Integral distances in Euclidean space
-
Harborth, H. (1981) — Integral point sets in the plane
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου