Τηλεσκοπική Άθροιση Τριών Γινομένων και Απόδειξη Ακεραιότητας του Αποτελέσματος

Έστω

$$S=\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{4\cdot5\cdot6}+\cdots+\frac{1}{2002\cdot2003\cdot2004}.$$

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος $A$ τέτοιος ώστε

$$S=\frac{2005\cdot A}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot 2002\cdot 2003\cdot 2004}\mathrm{.}$$