Area of a Triangle Using Complex Numbers — Elegant Determinant Formula

Εμβαδόν τριγώνου με μιγαδικούς αριθμούς

Αν οι κορυφές ενός τριγώνου στο μιγαδικό επίπεδο είναι \( z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C} \), τότε το εμβαδόν του δίνεται από τον εντυπωσιακό τύπο:

\[ A=\frac{i}{4} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ z_1 & z_2 & z_3\\ \overline{z_1} & \overline{z_2} & \overline{z_3} \end{vmatrix} \]

Ο τύπος αυτός είναι εξαιρετικός γιατί μετατρέπει ένα γεωμετρικό πρόβλημα σε καθαρά αλγεβρική πράξη — έναν απλό υπολογισμό ορίζουσας. Η χρήση μιγαδικών κάνει τον υπολογισμό του εμβαδού ιδιαίτερα κομψό και συμμετρικό.

➤ Δες την απόδειξη

Ξεκινώντας από τον κλασικό τύπο
\( A=\tfrac12|x_1y_2-x_2y_1 + x_2y_3-x_3y_2 + x_3y_1-x_1y_3| \)
και γράφοντας κάθε \(z=x+iy\), καταλήγουμε ότι:

\[ A=\frac{1}{2}\operatorname{Im}(z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_3}+z_3\overline{z_1} -z_2\overline{z_1}-z_3\overline{z_2}-z_1\overline{z_3}) \]

Αναδιατάσσοντας και περνώντας σε ορίζουσα, παίρνουμε τελικά τον συμπαγή τύπο:

\[ A=\frac{i}{4} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ z_1 & z_2 & z_3\\ \overline{z_1} & \overline{z_2} & \overline{z_3} \end{vmatrix} \]

Triangle Area in Complex Number Form (Short Version)

If the vertices of a triangle in the complex plane are \( z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C} \), the area can be computed elegantly using:

\[ A=\frac{i}{4} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ z_1 & z_2 & z_3\\ \overline{z_1} & \overline{z_2} & \overline{z_3} \end{vmatrix} \]

This formula is remarkable because it turns a geometric question into a clean algebraic computation using a 3×3 determinant. Complex numbers make the symmetry transparent and elegant.

➤ Show the proof

\[ A=\frac12|x_1y_2-x_2y_1 + x_2y_3-x_3y_2 + x_3y_1-x_1y_3| \] Writing \(z=x+iy\), one obtains: \[ A=\frac{1}{2}\operatorname{Im}(z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_3}+z_3\overline{z_1} -z_2\overline{z_1}-z_3\overline{z_2}-z_1\overline{z_3}) \] Finally reorganizing terms yields: \[ A=\frac{i}{4} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ z_1 & z_2 & z_3\\ \overline{z_1} & \overline{z_2} & \overline{z_3} \end{vmatrix} \]