Πύργος του Ανόι: Πώς η Λογική γίνεται Μαθηματικό Παιχνίδι

Ο Πύργος του Ανόι είναι ένας από τους πιο γνωστούς μαθηματικούς γρίφους. Χρησιμοποιείται για να διδάξει αναδρομή, αλγοριθμική σκέψη και λογική επίλυσης προβλημάτων.

Στόχος είναι να μεταφερθεί ένας πύργος δίσκων από έναν στύλο σε έναν άλλον, ακολουθώντας δύο απλούς κανόνες:

1. Μπορούμε να μετακινούμε μόνο έναν δίσκο κάθε φορά.
2. Μεγαλύτερος δίσκος δεν μπορεί να τοποθετηθεί πάνω σε μικρότερο.

---

🧮 Η μαθηματική αρχή πίσω από τον γρίφο

Αν έχουμε n δίσκους, ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων που απαιτούνται για να ολοκληρωθεί η μεταφορά είναι:

s = 2ⁿ − 1

Ο τύπος αυτός μπορεί να αποδειχθεί με μαθηματική επαγωγή ή να επαληθευτεί εμπειρικά, όπως δείχνει η παρακάτω εικόνα.

---

📊 Παρατήρηση μέσα από την εικόνα

Η επόμενη εικόνα δείχνει βήμα προς βήμα πώς εξελίσσεται η λύση για n = 1, 2, 3 και 4 δίσκους:

Παρατηρούμε ότι:

• Για n = 1, χρειάζεται 1 κίνηση.
• Για n = 2, χρειάζονται 3 κινήσεις.
• Για n = 3, χρειάζονται 7 κινήσεις.
• Για n = 4, χρειάζονται 15 κινήσεις.

Σε κάθε επόμενο επίπεδο, ο αριθμός κινήσεων διπλασιάζεται και προστίθεται μία επιπλέον κίνηση:

s(n+1) = 2·s(n) + 1

---

📋 Πίνακας τιμών

Αριθμός δίσκων (n)	Ελάχιστες κινήσεις (s)	Σχέση
1	1	2¹ − 1
2	3	2² − 1
3	7	2³ − 1
4	15	2⁴ − 1

---

📐 Απόδειξη με Μαθηματική Επαγωγή

Για n = 1: s = 1 = 2¹ − 1 → Ισχύει.

Αν υποθέσουμε ότι για n = k ισχύει s = 2ᵏ − 1, τότε για n = k + 1:

s_k+1 = 2·s_k + 1 = 2·(2ᵏ − 1) + 1 = 2^k+1 − 1

Άρα ο τύπος ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό n.

---

💡 Συμπέρασμα

Ο Πύργος του Ανόι συνδυάζει την αναδρομή με την αισθητική της λογικής. Η παραπάνω εικόνα αποκαλύπτει οπτικά την αναδρομική φύση του προβλήματος: κάθε νέα εκδοχή περιέχει την προηγούμενη λύση, διπλασιασμένη και εμπλουτισμένη με μία επιπλέον κίνηση.

Ένα απλό παιχνίδι που κρύβει μέσα του βαθιά μαθηματική σκέψη.