Ανόμοιες ανισότητες με θετικούς a,b,c: δύο κομψά άνω φράγματα

Έστω $a,b,c>0$. Να αποδείξετε ότι

$$\frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ca}+\frac{1}{c^{2}+ab}\ \le\ \frac{a+b+c}{2abc}$$

και μία ακόμη 

$$\frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}+\frac{1}{b^{3}+c^{3}+abc}+\frac{1}{c^{3}+a^{3}+abc}\ \le\ \frac{1}{abc}.$$