Εγγράψιμο τετράπλευρο και ταυτότητα που θεμελιώνει τον τύπο του Brahmagupta

Έστω εγγράψιμο τετράπλευρο Q (όλες οι κορυφές πάνω σε κύκλο). Υπάρχει ο αρχαίος τύπος εμβαδού

$$\mathrm{\mid }Q{\mathrm{\mid }}^2=(s-w)(s-x)(s-y)(s-z),s=\frac{1}{2}(w+x+y+z),$$

όπου $w,x,y,z$ τα μήκη των πλευρών.
Θεωρήστε τον περιγεγραμμένο κύκλο ακτίνας $1$ και τα τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα με κορυφή στο κέντρο και γωνίες βάσης $2A,2B,2C,2D$ στα αντίστοιχα τόξα. Τότε

$$A+B+C+D=180^\circ,\qquad w=2\sin A,\; x=2\sin B,\; y=2\sin C,\; z=2\sin D.$$

Δείξτε ότι το εμβαδό του $Q$ ισούται με

$$\frac12\big(\sin2A+\sin2B+\sin2C+\sin2D\big),$$

και ότι, αν $A+B+C+D=180^\circ$, τότε ισχύει η τριγωνομετρική ταυτότητα

$$\begin{aligned} \frac14\big(\sin2A+\sin2B+\sin2C+\sin2D\big)^2 &=( -\sin A+\sin B+\sin C+\sin D)\,(\sin A-\sin B+\sin C+\sin D)\\ &\quad\times(\sin A+\sin B-\sin C+\sin D)\,(\sin A+\sin B+\sin C-\sin D). \end{aligned}$$

Με αυτό να προκύψει απευθείας ο τύπος $|Q|^2=(s-w)(s-x)(s-y)(s-z)$ για $w=2\sin A,\ldots,z=2\sin D$.