Η Εξίσωση του Pell: Από την Ινδία του Brahmagupta στη Θεωρία των Συνεχών Κλασμάτων

Η εξίσωση του Pell,

$$x^2 - dy^2 = 1,$$

όπου $d$ είναι ακέραιος χωρίς τετράγωνο παράγοντα, είναι μία από τις πιο συναρπαστικές εξισώσεις της θεωρίας αριθμών.

---

📜 Ιστορική Αναδρομή

Η εξίσωση εμφανίζεται ήδη στο Πρόβλημα των Βοδιών του Αρχιμήδη (περίπου το 250 π.Χ.), που οδηγεί στην εξίσωση

$$x^2-4729494y^2=1,$$

της οποίας η ελάχιστη λύση για το $y$ έχει 41 ψηφία!

Η μελέτη της εξίσωσης συνεχίστηκε στην Ινδία, όπου μαθηματικοί όπως ο Brahmagupta (598 μ.Χ.) και ο Bhaskara II (1114–1185 μ.Χ.) ανέπτυξαν κανόνες για να βρίσκουν λύσεις μέσω του λεγόμενου κανόνα της σύνθεσης (composition rule).

Στην Ευρώπη, ο Fermat επανέφερε το πρόβλημα τον 17ο αιώνα. Οι Wallis και Brouncker έδωσαν λύσεις, ενώ ο Lagrange έδωσε για πρώτη φορά πλήρη θεωρητική ανάλυση.
Το όνομα “Pell’s Equation” αποδόθηκε εσφαλμένα από τον Euler στον John Pell (1611–1685).

---

🔢 Η Ινδική Μέθοδος

Αν έχουμε μία λύση της μορφής

$$x_0^2 - dy_0^2 = b_0,$$

μπορούμε να παραγάγουμε νέα λύση:

$$x_1 = x_0^2 + dy_0^2, \quad y_1 = 2x_0y_0, \quad b_1 = b_0^2.$$

Για παράδειγμα, στην εξίσωση $x^2 - 92y^2 = 1$, αν $(x_0, y_0) = (10, 1)$, παίρνουμε $b_0 = 8$ και τη νέα λύση $(x_1, y_1) = (192, 20)$.
Αν διαιρέσουμε με το $b_0$, έχουμε ρητή λύση $(24, 5/2)$.
Με τη διαδικασία σύνθεσης, μπορούμε να δημιουργήσουμε ακέραιες λύσεις, π.χ. $(1151, 120)$.

---

🧮 Η Μέθοδος των Συνεχών Κλασμάτων

Ο Lagrange απέδειξε ότι η εξίσωση έχει άπειρες ακέραιες λύσεις, χρησιμοποιώντας την ανάπτυξη του $\sqrt{d}$ σε περιοδικό συνεχές κλάσμα:

$$\sqrt{d} = [a_0; a_1, a_2, \ldots, a_{m-1}, 2a_0].$$

Από τα συγκλίνοντα (convergents) των κλασμάτων αυτών, μπορούμε να βρούμε τις λύσεις της εξίσωσης.

📘 Παράδειγμα:

$$\sqrt{2} = [1; 2, 2, 2, \ldots].$$

Η πρώτη λύση είναι $(x, y) = (3, 2)$ γιατί $3^2 - 2(2^2) = 1$.

Αν η περίοδος $m$ είναι ζυγή, οι λύσεις προκύπτουν από το $(p_{m-1}, q_{m-1})$.
Αν $m$ είναι περιττή, τότε από $(p_{2m-1}, q_{2m-1})$.

Παράδειγμα:
Για $x^2 - 29y^2 = 1$, έχουμε

$$\sqrt{29} = [5; 2, 1, 1, 2, 10],$$

οπότε η θεμελιώδης λύση είναι $(9801, 1820)$.

---

🔁 Αναδρομική Μορφή

Αν $(x_1, y_1)$ είναι η θεμελιώδης λύση, τότε όλες οι άλλες προκύπτουν από:

$$x_{n+1}=x_1{x}_n+d{y}_1{y}_n,$$

Έτσι, μπορούμε να παράγουμε απεριόριστες λύσεις χωρίς νέα ανάλυση.

---

✨ Παράδειγμα

Για $x^2 - 3y^2 = 1$:
Η θεμελιώδης λύση είναι $(2,1)$.
Οι επόμενες λύσεις προκύπτουν από:

$$x_{n+1} = 2x_n + 3y_n, \quad y_{n+1} = x_n + 2y_n.$$

Παράγει λύσεις:
(2,1), (7,4), (26,15), (97,56), ...

---

💡 Συμπέρασμα

Η εξίσωση του Pell είναι ένα παράδειγμα απλής εξίσωσης με άπειρη πολυπλοκότητα.
Συνδέει αρχαίες ινδικές ιδέες, τη θεωρία των συνεχών κλασμάτων, και σύγχρονες μεθόδους άλγεβρας.
Η ομορφιά της βρίσκεται στο ότι ένας τύπος τόσο απλός όσο $x^2 - dy^2 = 1$ παράγει άπειρες, συμμετρικές και βαθιά δομημένες λύσεις.