Δρόμος χωρίς τελικό σημείο: Τι είναι τα Διατακτικά (Ordinals)
Οι περισσότεροι γνωρίζουμε το άπειρο ως το «συνεχίζω για πάντα» στους φυσικούς αριθμούς \(0,1,2,3,\dots\). Τα διατακτικά (ordinals), όμως, δεν μετρούν πόσα, αλλά τη σειρά: 1ο, 2ο, 3ο, …
Το πρώτο υπερπεπερασμένο διατακτικό: \( \omega \)
Ο Cantor όρισε το πρώτο άπειρο διατακτικό: \[ \omega=\{0,1,2,3,\dots\}, \] που αναπαριστά τον τύπο διάταξης όλων των φυσικών. Κι όμως, δεν σταματάμε στο \(\omega\):
\(\omega+1,\ \omega+2,\ \omega\cdot 2,\ \omega^2,\ \omega^\omega,\ \dots\)
Δεν υπάρχει «τελευταίο» διατακτικό. Πάντα υπάρχει διάδοχος.
Το Παράδοξο Burali–Forti (1897)
Ο Cesare Burali–Forti ρώτησε: «Τι γίνεται αν συγκεντρώσουμε όλα τα διατακτικά σε μία συλλογή;»
- Κάθε συλλογή διατακτικών είναι καλά διατεταγμένη, άρα θα έμοιαζε κι η ίδια με διατακτικό.
- Ας την ονομάσουμε \(X=\) «το διατακτικό όλων των διατακτικών».
- Τότε το \(X\) έχει διάδοχο \(X+1\) που είναι επίσης διατακτικό.
- Αν το \(X\) «περιέχει όλα», θα πρέπει να περιέχει και το \(X+1\), δηλαδή \(X+1\le X\).
- Αλλά ως διάδοχος ισχύει και \(X+1>X\). Αντίφαση.
Συμπέρασμα: δεν υπάρχει «το διατακτικό όλων των διατακτικών».
Η σύγχρονη λύση: Σύνολα vs. Γνήσιες κλάσεις
| Τύπος συλλογής | Τι είναι | Παράδειγμα |
|---|---|---|
| Σύνολο (set) | Αντικείμενο της θεωρίας συνόλων | \(\{1,2,3\}\), \(\mathbb{N}\) |
| Γνήσια κλάση (proper class) | «Πολύ μεγάλη» για να είναι σύνολο | Η κλάση όλων των διατακτικών |
Έτσι, μπορούμε να μιλάμε για «όλα τα διατακτικά» ως κλάση, αλλά όχι ως σύνολο. Άρα δεν υπάρχει ένα μεγαλύτερο διατακτικό που να τα περιέχει όλα — και το παράδοξο αποφεύγεται.
Το νόημα για το άπειρο
- Το άπειρο δεν είναι ένα «τελευταίο νούμερο».
- Στον κόσμο των διατακτικών πάντα υπάρχει επόμενο.
- Κάθε προσπάθεια να «κλείσουμε» όλα τα άπειρα σε ένα σύνολο οδηγεί σε αντίφαση.
Σύντομη υπενθύμιση ορολογίας: στα κείμενα χρησιμοποιούμε τον όρο διατακτικά για τα ordinals.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου