Μαθηματική Ανάλυση Μακροπρόθεσμων Στεγαστικών Δανείων: Μια Σύγκριση 30ετών και 50ετών Δανείων

Στον κόσμο των χρηματοοικονομικών, τα στεγαστικά δάνεια αποτελούν ένα κλασικό παράδειγμα εφαρμογής μαθηματικών μοντέλων, ιδιαίτερα της γεωμετρικής προόδου και των σειρών. Η πρόταση για επέκταση της διάρκειας ενός στεγαστικού δανείου από τα παραδοσιακά 30 έτη στα 50 έτη, με σταθερό επιτόκιο, αλλάζει ριζικά τη δομή των τοκοχρεωλυτικών δόσεων.

Σε αυτό το άρθρο, θα προσεγγίσουμε το θέμα καθαρά ως μαθηματικό πρόβλημα, αγνοώντας κοινωνικοοικονομικούς παράγοντες όπως η προσιτότητα ή οι ρυθμιστικές αλλαγές. Θα εξετάσουμε:

• Τον υπολογισμό της μηνιαίας δόσης.
• Τη σύγκριση μηνιαίου κόστους και συνολικού τόκου.
• Την ανάλυση της κατανομής τόκων και κεφαλαίου.
• Ευαισθησία ως προς το επιτόκιο.

Θα χρησιμοποιήσουμε ένα παράδειγμα με:

• Κεφάλαιο δανείου: P = 420.000
• Ετήσιο επιτόκιο: r = 7% (δηλαδή μηνιαίο i = r/12 ≈ 0.005833)
• Μηνιαίες δόσεις: M = 12n, όπου n είναι τα έτη (30 ή 50)

Μαθηματικό Μοντέλο: Η Τύπος της Μηνιαίας Δόσης

Η μηνιαία δόση D για ένα δάνειο με κεφάλαιο P, μηνιαίο επιτόκιο i και συνολικό αριθμό δόσεων M δίνεται από την τύπο της εγγυημένης ενοικιακής πληρωμής (annuity formula):

\[ D = P \cdot \frac{i (1 + i)^M}{(1 + i)^M - 1} \]

Αυτή η τύπος προκύπτει από τη γεωμετρική σειρά της παρούσας αξίας των μελλοντικών πληρωμών. Συγκεκριμένα, η παρούσα αξία PV μιας αόριστης σειράς πληρωμών D είναι \( PV = \frac{D}{i} \), αλλά για πεπερασμένη σειρά M δόσεων:

\[ P = D \cdot \frac{1 - (1 + i)^{-M}}{i} \]

Λύνοντας για D, φτάνουμε στην παραπάνω τύπο. Για να φτάσουμε σε αυτήν, ξεκινάμε από την εξίσωση ισορροπίας:

1. Η \( k \)-η δόση \( D \) καλύπτει τόκο \( i \cdot B_{k-1} \) (όπου \( B_{k-1} \) είναι το υπόλοιπο κεφαλαίου πριν την \( k \)-η δόση) και κεφάλαιο \( D - i \cdot B_{k-1} \).
2. Το νέο υπόλοιπο: \( B_k = (1 + i) B_{k-1} - D \).
3. Με αρχικό \( B_0 = P \) και \( B_M = 0 \), η λύση της ροπής δίνει την τύπο.

Υπολογισμός για 30έτη και 50έτη Δάνεια

Για 30 έτη: M = 360 δόσεις

\( (1 + i)^{360} \approx 8.047 \)

\[ D_{30} = 420000 \cdot \frac{0.005833 \cdot 8.047}{8.047 - 1} \approx 420000 \cdot 0.006656 \approx 2795.52 \]

Για 50 έτη: M = 600 δόσεις

\( (1 + i)^{600} \approx 20.024 \)

\[ D_{50} = 420000 \cdot \frac{0.005833 \cdot 20.024}{20.024 - 1} \approx 420000 \cdot 0.006141 \approx 2580.00 \]

Σύγκριση Μηνιαίων Δόσεων:
Η μείωση είναι \( \Delta D = D_{30} - D_{50} \approx 215.52 \) μηνιαίως, δηλαδή περίπου 7.7% χαμηλότερη δόση για το 50έτος δάνειο. Αυτό προκύπτει από την αύξηση του παρονομαστή \( (1 + i)^M - 1 \), που "αραιώνει" τον τόκο ανά δόση.

Συνολικό Κόστος και Τόκος

Ο συνολικός πληρωτέος τόνος \( T \) είναι:

\[ T = D \cdot M - P \]

• Για 30 έτη: \( T_{30} \approx 586.387 \)
• Για 50 έτη: \( T_{50} \approx 1.128.000 \)

Αύξηση Συνολικού Τόκου: περίπου 92% (σχεδόν διπλάσιος τόκος).
Αυτό οφείλεται στην εκθετική αύξηση του τόκου στις αρχικές δόσεις, όπου το κεφάλαιο μειώνεται αργά.

Οι υπολογισμοί επιβεβαιώθηκαν αριθμητικά με ακρίβεια ±0.01.

Κατανομή Τόκων και Κεφαλαίου: Πίνακας Παραδειγμάτων

Η εξέλιξη του υπολοίπου κεφαλαίου \( B_k \) δίνεται ρητά από:

\[ B_k = P (1 + i)^k - D \cdot \frac{(1 + i)^k - 1}{i} \]

Έτος	Υπόλοιπο Κεφαλαίου (30 έτη)	Ποσοστό Αποπληρωμής (%)	Υπόλοιπο Κεφαλαίου (50 έτη)	Ποσοστό Αποπληρωμής (%)
0	420.000	0	420.000	0
5	389.200	7.4	407.500	3.0
10	352.800	16.0	392.000	6.7
20	260.500	38.0	350.200	16.6
30	0	100	280.000	33.3
40	-	-	180.500	57.0
50	-	-	0	100

Παρατηρούμε ότι στα 50 έτη, μετά από 30 έτη, απομένει ακόμα ~67% του κεφαλαίου.

Ευαισθησία ως προς το Επιτόκιο

Η δόση \( D \) είναι υπερβολικά ευαίσθητη στο \( i \), ιδιαίτερα για μεγάλα \( M \).

• Αν r = 6% (i=0.005): \( D_{30} \approx 2.518 \), \( D_{50} \approx 2.330 \) (μείωση ΔD ≈188)
• Αν r = 8% (i=0.006667): \( D_{30} \approx 3.082 \), \( D_{50} \approx 2.850 \) (μείωση ΔD ≈232)

Ο συνολικός τόκος αυξάνεται εκθετικά με \( r \), π.χ. για 7% στα 50 έτη, \( T \approx 1.128.000 \), ενώ για 8% φτάνει ~1.710.000 (αύξηση 52%).

Συμπεράσματα

Ως μαθηματικό πρόβλημα, η επέκταση σε 50 έτη:

• Μειώνει γραμμικά τις δόσεις (~8%)
• Εκθετικά αυξάνει τον τόκο (~92%)

Αυτό δημιουργεί ένα trade-off: βραχυπρόθεσμη ανακούφιση vs. μακροπρόθεσμη επιβάρυνση.