Από τους διωνυμικούς συντελεστές στους πρώτους αριθμούς – Ο Chebyshev και το «μέτρημα» των πρώτων
Όλοι ξέρουμε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … Το είχε ήδη αποδείξει ο Ευκλείδης: αν πολλαπλασιάσεις όλους τους πρώτους μέχρι κάποιον αριθμό και προσθέσεις 1, παίρνεις έναν νέο αριθμό που έχει κάποιον νέο πρώτο διαιρέτη – άρα ποτέ δεν «τελειώνουν» οι πρώτοι.
Αλλά οι μαθηματικοί δεν σταμάτησαν εκεί. Δεν τους αρκεί το «άπειροι». Θέλουν να ξέρουν πόσοι περίπου πρώτοι υπάρχουν μέχρι έναν μεγάλο αριθμό x. Αυτή την ποσότητα τη συμβολίζουμε με:
π(x) = αριθμός πρώτων ≤ x.
Παραδείγματα:
- π(10) = 4 (οι πρώτοι είναι 2, 3, 5, 7)
- π(100) = 25
- π(1 000 000 000) είναι πάνω από 50 εκατομμύρια!
Γύρω στον 19ο αιώνα έγινε ξεκάθαρο ότι η σωστή περίπου «φόρμουλα» για αυτό το μέτρημα είναι:
π(x) ≈ x / ln x.
Αυτό είναι το Θεώρημα των Πρώτων Αριθμών. Η πλήρης απόδειξη είναι πολύ δύσκολη. Πριν όμως φτάσουν εκεί, κάποιοι μαθηματικοί – και ανάμεσά τους ο Chebyshev – κατάφεραν με σχετικά στοιχειώδη μέσα να δείξουν ότι:
Οι πρώτοι μέχρι το x είναι περίπου της τάξης x / ln x.
Δηλαδή δεν πέσαμε τελείως έξω· το «μέγεθος» είναι σωστό. Και το έκαναν χρησιμοποιώντας κάτι που μοιάζει… άσχετο: έναν διωνυμικό συντελεστή.
Ο «ήρωας» της ιστορίας: ο κεντρικός διωνυμικός συντελεστής
Ο Chebyshev κοιτάζει τον αριθμό:
aₙ = C(2n, n) = (2n)! / (n!)².
Αυτός ο αριθμός εμφανίζεται παντού: στο τρίγωνο του Pascal, στις πιθανότητες, στη συνδυαστική. Εδώ όμως παίζει έναν άλλο ρόλο:
είναι μια «δεξαμενή» μέσα στην οποία κρύβονται όλοι οι πρώτοι μεταξύ n και 2n.
Παρατήρηση: μπορούμε να γράψουμε
aₙ = C(2n, n) = (n+1)(n+2)…(2n) / (1·2·…·n).
Άρα, στο αριθμητή βρίσκονται οι αριθμοί από n+1 μέχρι 2n. Αν πάρουμε έναν πρώτο p με n < p ≤ 2n, τότε:
- ο p εμφανίζεται στον αριθμητή,
- δεν εμφανίζεται στον παρονομαστή (όλοι οι αριθμοί εκεί είναι ≤ n),
- άρα ο πρώτος p διαιρεί τον aₙ.
Συνεπώς, ο κεντρικός διωνυμικός συντελεστής είναι πολλαπλάσιο του γινομένου όλων των πρώτων μεταξύ n και 2n:
C(2n, n) ≥ ∏n<p≤2n p.
Αυτή είναι η βασική ιδέα του Chebyshev: ένας «συνδυαστικός» αριθμός κουβαλάει πληροφορία για τους πρώτους.
Πώς μπαίνει ο λογάριθμος στο παιχνίδι
Για να μετατρέψουμε το «γινόμενο όλων των πρώτων» σε κάτι πιο διαχειρίσιμο, παίρνουμε λογάριθμους. Θυμόμαστε ότι:
ln(∏ p) = ∑ ln p.
Εδώ εμφανίζεται μια κλασική συνάρτηση της θεωρίας αριθμών:
θ(x) = ∑p≤x ln p,
δηλαδή το άθροισμα των λογαρίθμων όλων των πρώτων μέχρι το x.
Από την ανισότητα
C(2n, n) ≥ ∏n<p≤2n p
παίρνουμε λογάριθμο και προκύπτει χοντρικά κάτι σαν:
ln C(2n, n) ≥ θ(2n) − θ(n).
Από την άλλη πλευρά, υπάρχει και μια άνω εκτίμηση για το C(2n, n), π.χ. με γνωστές ανισότητες (ή με τον τύπο του Stirling). Αυτό δίνει μια ανισότητα της μορφής:
θ(2n) − θ(n) ≤ C·n
για κάποια σταθερά C. Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία για 2n, 4n, 8n, … καταλήγουμε σε μια γενικότερη εκτίμηση:
c₁ x ≤ θ(x) ≤ c₂ x
για κατάλληλες σταθερές c₁, c₂ > 0 και x αρκετά μεγάλο. Στο άρθρο που σχολιάζουμε, προκύπτει, για x ≥ 854, π.χ. κάτι της μορφής:
(ln 2 / 7)·x < θ(x) ≤ 4(ln 2)·x.
Από το θ(x) στο π(x): από λογαρίθμους σε «πλήθος» πρώτων
Το θ(x) ασχολείται με άθροισμα λογαρίθμων πρώτων. Εμείς όμως θέλουμε το πλήθος των πρώτων, π(x). Χοντρικά:
- Αν μέχρι το x υπάρχουν π(x) πρώτοι,
- και για καθέναν ισχύει ln p ≤ ln x,
τότε
θ(x) = ∑p≤x ln p ≤ π(x)·ln x.
Άρα
π(x) ≥ θ(x) / ln x.
Αν βάλουμε την κάτω εκτίμηση για το θ(x), παίρνουμε:
π(x) ≳ x / ln x.
Με περισσότερη δουλειά (όπως εξηγεί το άρθρο) παίρνουμε και μια άνω εκτίμηση για π(x):
π(x) ≲ C·x / ln x
για κάποια σταθερά C. Συγκεκριμένα, καταλήγουν σε κάτι του τύπου:
(ln 2 / 7)·x / ln x ≤ π(x) ≤ (8 ln 2 + 2)·x / ln x.
Δεν είναι «ακριβώς» το Θεώρημα των Πρώτων Αριθμών, αλλά λέει ότι υπάρχουν σταθερές A, B > 0 τέτοιες ώστε, για x μεγάλο,
A·x / ln x ≤ π(x) ≤ B·x / ln x.
Δηλαδή, ναι, το σωστό «μέγεθος» του π(x) είναι x / ln x.
Τι κερδίσαμε; Η συμβολή του Chebyshev
Με καθαρά στοιχειώδη εργαλεία:
- διωνυμικούς συντελεστές C(2n, n),
- βασικές ιδιότητες της παραγοντικής n!,
- λίγη λογαριθμική άλγεβρα,
ο Τσεμπίσεφ έδειξε ότι:
- οι πρώτοι δεν είναι τόσο αραιοί όσο θα μπορούσαμε να φοβηθούμε,
- ούτε όμως και «υπερβολικά πολλοί»,
- αλλά ακολουθούν (σε μέγεθος) το μοτίβο x / ln x.
Αυτό άνοιξε τον δρόμο για το Θεώρημα των Πρώτων Αριθμών και για τη μεγάλη επανάσταση του Riemann και της μιγαδικής ανάλυσης στη θεωρία αριθμών.
From Binomial Coefficients to Prime Numbers: Chebyshev's Idea
Chebyshev studied the central binomial coefficient
C(2n, n) = (2n)! / (n!)²
and observed that every prime number p with n < p ≤ 2n must divide this number. Indeed, if we write
C(2n, n) = (n+1)(n+2)…(2n) / (1·2·…·n),
then any prime p in the interval (n, 2n] appears in the numerator but not in the denominator, which implies that
C(2n, n) ≥ ∏n<p≤2n p.
This simple combinatorial quantity therefore “contains” all primes between n and 2n.
From products of primes to logarithms
To turn the product of primes into something more manageable, Chebyshev took natural logarithms. Using
ln(∏ p) = ∑ ln p,
he introduced what is now called the Chebyshev function
θ(x) = ∑p≤x ln p,
that is, the sum of logarithms of all primes up to x.
From the inequality
C(2n, n) ≥ ∏n<p≤2n p
taking logarithms gives, roughly,
ln C(2n, n) ≥ θ(2n) − θ(n).
On the other hand, one can obtain an upper bound for C(2n, n) using elementary estimates for factorials (or Stirling’s formula). Combining these estimates and iterating the argument for 2n, 4n, 8n, … leads to global bounds of the form
c₁ x ≤ θ(x) ≤ c₂ x
for suitable positive constants c₁, c₂ and all sufficiently large x.
From θ(x) to π(x): counting primes
While θ(x) involves logarithms of primes, what we ultimately care about is the number of primes up to x, the prime counting function π(x).
If there are π(x) primes up to x, and each of them satisfies ln p ≤ ln x, then
θ(x) = ∑p≤x ln p ≤ π(x) · ln x.
This immediately implies
π(x) ≥ θ(x) / ln x.
Using the lower bound θ(x) ≥ c₁ x, we obtain a corresponding lower bound for π(x):
π(x) ≳ x / ln x.
With some additional work, one can also derive an upper bound of the form
π(x) ≲ C · x / ln x
for a constant C > 0 and all sufficiently large x. A concrete result of this type is
(ln 2 / 7) · x / ln x ≤ π(x) ≤ (8 ln 2 + 2) · x / ln x
for x beyond a certain threshold.
Chebyshev’s contribution
Using only elementary tools:
- central binomial coefficients C(2n, n),
- basic properties of factorials n!,
- simple logarithmic inequalities,
Chebyshev showed that the number of primes up to x grows on the scale
x / ln x.
In other words, primes are neither excessively sparse nor overwhelmingly dense: their distribution follows the order x / ln x. This result paved the way for the full Prime Number Theorem and for the later breakthrough work of Bernhard Riemann and complex analysis in number theory.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου