Cubic Polynomial with One Rational and Two Irrational Roots

Δίνεται το πολυώνυμο τρίτου βαθμού \( f(x)=x^3+\alpha x^2+(\alpha-\beta)x-1 \), όπου \(\alpha\) και \(\beta\) είναι πραγματικοί αριθμοί.

(α) Θεωρούμε \(\beta = 2\). Να βρεθεί μία τιμή της \(\alpha\) για την οποία το \(f(x)\) έχει μία ρητή ρίζα και δύο άρρητες ρίζες.

(β) Να βρεθεί μία τιμή της \(\beta\) με την ακόλουθη ιδιότητα: για κάθε πραγματική τιμή της \(\alpha\), το πολυώνυμο \(f(x)\) έχει είτε τρεις ρητές ρίζες, είτε τρεις πραγματικές άρρητες ρίζες.

Consider the cubic polynomial \( f(x)=x^3+\alpha x^2+(\alpha-\beta)x-1 \), where \(\alpha\) and \(\beta\) are real numbers.

(a) Let \(\beta = 2\). Find a value of \(\alpha\) for which \(f(x)\) has one rational root and two irrational roots.

(b) Find a value of \(\beta\) with the following property: for every real \(\alpha\), the polynomial \(f(x)\) has either three rational roots or three real irrational roots.