Dandelin Spheres and Conic Sections: From Cone Cuts to Foci

Θεώρημα του Ντάντελιν: σφαίρες, κωνικές τομές και εστίες

Το θεώρημα του Ντάντελιν είναι ένα από τα πιο όμορφα παραδείγματα για το πώς η τρισδιάστατη γεωμετρία μπορεί να μας βοηθήσει να κατανοήσουμε καλύτερα τις κωνικές τομές στο επίπεδο: την έλλειψη, την υπερβολή και την παραβολή.

Η βασική ιδέα είναι ότι, αν μέσα σε έναν ορθό κυκλικό κώνο τοποθετήσουμε κατάλληλες σφαίρες που εφάπτονται στον κώνο και στο επίπεδο της τομής, τότε τα σημεία επαφής τους με το επίπεδο γίνονται οι εστίες ή σχετίζονται με τις διευθετούσες της κωνικής.

1. Σύντομη υπενθύμιση: τι είναι κωνική τομή;

Ξεκινάμε από έναν ορθό κυκλικό κώνο. Αν πάρουμε ένα επίπεδο και το κόψουμε με τον κώνο, ανάλογα με την κλίση του επιπέδου προκύπτουν διαφορετικά σχήματα:

• Κύκλος, όταν το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου.
• Έλλειψη, όταν το επίπεδο τέμνει όλες τις γενέτειρες μόνο στη μία πλευρά.
• Παραβολή, όταν το επίπεδο είναι παράλληλο σε κάποια γενέτειρα.
• Υπερβολή, όταν το επίπεδο τέμνει και τα δύο «φύλλα» του διπλού κώνου.

Οι ίδιες αυτές καμπύλες μπορούν να οριστούν και με άλλους τρόπους: με εστίες και διευθετούσες ή με αναλογίες αποστάσεων. Το θεώρημα του Ντάντελιν είναι ο κρίκος που συνδέει αυτούς τους διαφορετικούς ορισμούς.

2. Διατύπωση του θεωρήματος του Ντάντελιν

Έστω ένας ορθός κυκλικός κώνος και ένα επίπεδο που τον τέμνει σχηματίζοντας μια κωνική τομή (έλλειψη, παραβολή ή υπερβολή).

Ο Βέλγος μαθηματικός Germinal Pierre Dandelin (1794–1847), 

που διατύπωσε το γνωστό θεώρημα για τις κωνικές τομές.

Θεώρημα του Ντάντελιν.

• Υπάρχει μία ή δύο σφαίρες μέσα στον κώνο που εφάπτονται τόσο στον κώνο όσο και στο τέμνον επίπεδο.
• Τα σημεία επαφής των σφαιρών με το επίπεδο είναι οι εστίες της κωνικής.
• Τα επίπεδα που περιέχουν τους κύκλους επαφής σφαίρας–κώνου, όταν τέμνουν το επίπεδο της κωνικής, δίνουν τις αντίστοιχες διευθετούσες.

Οι σφαίρες αυτές ονομάζονται σφαίρες του Ντάντελιν.

3. Η περίπτωση της έλλειψης – βασική ιδέα της απόδειξης

Ας δούμε πώς το θεώρημα εξηγεί τον κλασικό ορισμό της έλλειψης ως «τόπος σημείων του επιπέδου για τα οποία το άθροισμα των αποστάσεων από δύο εστίες είναι σταθερό».

3.1 Η γεωμετρική κατασκευή

Έχουμε έναν κώνο και ένα επίπεδο που τον τέμνει σχηματίζοντας μια έλλειψη. Μέσα στον κώνο μπορούμε να τοποθετήσουμε δύο σφαίρες έτσι ώστε:

• κάθε σφαίρα να εφάπτεται στην εσωτερική επιφάνεια του κώνου,
• και ταυτόχρονα να εφάπτεται στο επίπεδο της έλλειψης.

Οι σφαίρες ακουμπούν το επίπεδο στα σημεία F₁ και F₂. Αυτά θα αποδειχθούν οι εστίες της έλλειψης.

3.2 Γιατί το PF₁ + PF₂ είναι σταθερό;

Πάρε τώρα οποιοδήποτε σημείο P πάνω στην έλλειψη. Από το P, φέρε την γενέτειρα του κώνου (την ευθεία που ενώνει την κορυφή του κώνου με το P). Αυτή η γενέτειρα τέμνει τους κύκλους επαφής των σφαιρών με τον κώνο στα σημεία P₁ και P₂.

Σημείο–κλειδί: Από ένα σημείο έξω από μια σφαίρα, όλες οι εφαπτόμενες προς τη σφαίρα έχουν το ίδιο μήκος. Έτσι:

• Το τμήμα PP₁ έχει το ίδιο μήκος με το PF₁.
• Το τμήμα PP₂ έχει το ίδιο μήκος με το PF₂.

Άρα:

PF₁ + PF₂ = PP₁ + PP₂ = P₁P₂.

Όμως, τα σημεία P₁ και P₂ κινούνται πάνω στους κύκλους επαφής των σφαιρών με τον κώνο. Η απόσταση P₁P₂ εξαρτάται μόνο από τη θέση των σφαιρών μέσα στον κώνο και όχι από τη θέση του P πάνω στην έλλειψη. Συνεπώς, το PF₁ + PF₂ είναι μια σταθερά.

Έτσι, η καμπύλη τομής είναι έλλειψη με εστίες F₁ και F₂. Το θεώρημα του Ντάντελιν συνδέει λοιπόν άμεσα τον ορισμό «τομή κώνου» με τον ορισμό «τόπος σημείων με σταθερό άθροισμα αποστάσεων».

3.3 Μικρό παράδειγμα – σύνδεση με τον αναλυτικό τύπο

Αν σε συντεταγμένες πάρουμε μια έλλειψη με κέντρο την αρχή και εστίες στα (±c, 0), τότε ο κλασικός τύπος

PF₁ + PF₂ = 2a

προκύπτει από την αναλυτική γεωμετρία. Το θεώρημα του Ντάντελιν μας επιτρέπει να «δούμε» αυτόν τον τύπο στον τρισδιάστατο χώρο: το 2a αντιστοιχεί στη σταθερή απόσταση P₁P₂ που ορίζεται από τις σφαίρες μέσα στον κώνο.

4. Η περίπτωση της παραβολής

Για την παραβολή χρειαζόμαστε μόνο μία σφαίρα του Ντάντελιν. Το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα του κώνου και η σφαίρα εφάπτεται:

• στον κώνο κατά μήκος ενός κύκλου,
• και στο επίπεδο της παραβολής σε ένα σημείο F, την εστία.

 Η μοναδική σφαίρα του Ντάντελιν στην περίπτωση της παραβολής: 

το σημείο επαφής δίνει την εστία και η τομή των επιπέδων δίνει τη διευθετούσα.

Το επίπεδο που περιέχει τον κύκλο επαφής σφαίρας–κώνου τέμνει το επίπεδο της παραβολής σε μια ευθεία d. Αυτή είναι η διευθετούσα.

Με ανάλογο συλλογισμό με αυτόν της έλλειψης, αποδεικνύεται ότι για κάθε σημείο P της παραβολής ισχύει:

PF = απόσταση(P, d)

που είναι ο κλασικός ορισμός της παραβολής ως τόπος σημείων που έχουν ίση απόσταση από μια εστία και μια διευθετούσα.

5. Η περίπτωση της υπερβολής

Στην υπερβολή, το επίπεδο τέμνει και τα δύο φύλλα ενός διπλού κώνου. Τοποθετούμε δύο σφαίρες, μία σε κάθε φύλλο. Κάθε σφαίρα:

• εφάπτεται στην επιφάνεια του αντίστοιχου φύλλου του κώνου,
• και στο επίπεδο της τομής, σε δύο σημεία F₁ και F₂, τις εστίες.

Δύο σφαίρες του Ντάντελιν σε διπλό κώνο παράγουν τις δύο εστίες 

της υπερβολής μέσω των σημείων επαφής τους με το επίπεδο.

Με παρόμοιο επιχείρημα (ίσα μήκη εφαπτομένων από το ίδιο σημείο), αποδεικνύεται ότι για κάθε σημείο P της υπερβολής η διαφορά των αποστάσεων από τις εστίες είναι σταθερή:

|PF₁ − PF₂| = σταθερά.

Και πάλι βλέπουμε την απόλυτη σύμπτωση του «ορισμού με κώνο» και του «ορισμού με εστίες» μέσω των σφαιρών του Ντάντελιν.

6. Διευθετούσες και λόγος αποστάσεων

Εκτός από τις εστίες, το θεώρημα του Ντάντελιν εξηγεί και τον ορισμό των κωνικών με λόγο αποστάσεων από εστία και διευθετούσα.

Για την έλλειψη, αν πάρουμε το επίπεδο που περιέχει τον κύκλο επαφής μιας σφαίρας με τον κώνο και το τέμνουμε με το επίπεδο της κωνικής, προκύπτει μια ευθεία d, η διευθετούσα.

Μπορεί να δείξει κανείς ότι για κάθε σημείο P της έλλειψης:

PF / απόσταση(P, d) = e με 0 < e < 1,

όπου e είναι η εκκεντρότητα της έλλειψης. Αντίστοιχα, για υπερβολή έχουμε e > 1 και για παραβολή e = 1.

7. Παιδαγωγικές εφαρμογές και ιδέες για διδασκαλία

Το θεώρημα του Ντάντελιν είναι ιδανικό για:

• Οπτική διδασκαλία: με ένα 3D λογισμικό (π.χ. GeoGebra 3D) ο μαθητής βλέπει ταυτόχρονα τον κώνο, τις σφαίρες και την κωνική στο επίπεδο.
• Γέφυρα σχολικής–πανεπιστημιακής γεωμετρίας: συνδέει την «σχολική» εικόνα της έλλειψης με σχοινί και δύο καρφιά, με τη «συνεχή» γεωμετρία των κώνων.
• Συζήτηση για την έννοια του ορισμού: δείχνει ότι η ίδια καμπύλη μπορεί να έχει διαφορετικούς, αλλά ισοδύναμους ορισμούς.

Μια ωραία δραστηριότητα είναι να ζητήσουμε από τους μαθητές να:

1. σχεδιάσουν, έστω σχηματικά, έναν κώνο, ένα επίπεδο και τις σφαίρες του Ντάντελιν,
2. σημειώσουν τα σημεία επαφής F₁, F₂ και τις διευθετούσες,
3. γράψουν με δικά τους λόγια γιατί προκύπτει η αντίστοιχη ιδιότητα (άθροισμα, διαφορά ή ισότητα αποστάσεων).

8. Συμπέρασμα

Το θεώρημα του Ντάντελιν δεν είναι απλώς ένα «τεχνικό» αποτέλεσμα στη στερεομετρία. Αποκαλύπτει μια βαθιά ενότητα: οι κωνικές μπορούν να περιγραφούν είτε ως τομές ενός κώνου με ένα επίπεδο, είτε ως τόπος σημείων που ικανοποιούν μια απλή συνθήκη αποστάσεων από εστίες και διευθετούσες.

Μέσα από αυτό το θεώρημα, η γεωμετρία γίνεται μια ιστορία για το πώς η τρισδιάστατη εικόνα «γεννά» τις κλασικές καμπύλες που συναντάμε στην άλγεβρα, στην ανάλυση και στην φυσική (π.χ. τροχιές πλανητών).

Dandelin’s Theorem: spheres, conic sections and foci

Dandelin’s theorem is one of the most elegant examples of how three-dimensional geometry can help us better understand conic sections in the plane: the ellipse, the hyperbola and the parabola.

The key idea is that, if we place suitable spheres inside a right circular cone so that they are tangent both to the cone and to the cutting plane, then their points of tangency with the plane become the foci or are related to the directrices of the conic.

1. A brief reminder: what is a conic section?

We start with a right circular cone. If we take a plane and cut the cone, depending on the inclination of the plane we obtain different curves:

• Circle, when the plane is perpendicular to the cone’s axis.
• Ellipse, when the plane intersects all generatrices on one side only.
• Parabola, when the plane is parallel to some generatrix.
• Hyperbola, when the plane intersects both sheets of a double cone.

The same curves can also be defined in other ways: using foci and directrices or using ratios of distances. Dandelin’s theorem is the link that connects these different definitions.

2. Statement of Dandelin’s theorem

Let a right circular cone and a plane that cuts it, forming a conic section (ellipse, parabola or hyperbola).

Dandelin’s theorem.

• There exists one or two spheres inside the cone, each tangent both to the cone and to the cutting plane.
• The points where the spheres touch the plane are the foci of the conic.
• The planes containing the circles of tangency between sphere and cone intersect the conic plane along the corresponding directrices.

These spheres are called Dandelin spheres.

3. The ellipse – main idea of the proof

Let us see how the theorem explains the classical definition of an ellipse as “the locus of points in the plane for which the sum of distances from two foci is constant”.

3.1 The geometric construction

We have a cone and a plane cutting it and forming an ellipse. Inside the cone we can place two spheres such that:

• each sphere is tangent to the inner surface of the cone,
• and at the same time tangent to the ellipse’s plane.

The spheres touch the plane at the points F₁ and F₂. These will turn out to be the foci of the ellipse.

3.2 Why is PF₁ + PF₂ constant?

Take any point P on the ellipse. From P, draw the generatrix of the cone (the line joining the vertex of the cone to P). This line intersects the circles of tangency of the spheres with the cone at points P₁ and P₂.

A key fact: from a point outside a sphere, all tangent segments to the sphere have the same length. Thus:

• segment PP₁ has the same length as PF₁,
• segment PP₂ has the same length as PF₂.

Therefore:

PF₁ + PF₂ = PP₁ + PP₂ = P₁P₂.

However, the points P₁ and P₂ move along the circles of tangency of the spheres with the cone. The distance P₁P₂ depends only on the position of the spheres inside the cone and not on the position of P on the ellipse. Consequently, PF₁ + PF₂ is a constant.

Hence the intersection curve is an ellipse with foci F₁ and F₂. Dandelin’s theorem directly connects the “cone cut” definition with the “sum of distances” definition.

3.3 A small example – connection with the analytic formula

In coordinates, consider an ellipse centered at the origin with foci at (±c, 0). The classical formula

PF₁ + PF₂ = 2a

follows from analytic geometry. Dandelin’s theorem allows us to “see” this formula in three-dimensional space: the 2a corresponds to the constant distance P₁P₂ determined by the spheres inside the cone.

4. The parabola

For the parabola we need only one Dandelin sphere. The plane is parallel to a generatrix of the cone and the sphere is tangent:

• to the cone along a circle,
• and to the parabola’s plane at a point F, the focus.

The plane containing the circle of tangency of sphere and cone intersects the parabola’s plane along a line d. This is the directrix.

With an argument analogous to the ellipse case, one shows that for every point P on the parabola we have:

PF = distance(P, d)

which is the classical definition of the parabola as the locus of points that have equal distance from a focus and a directrix.

5. The hyperbola

In the case of the hyperbola, the plane intersects both sheets of a double cone. We place two spheres, one in each sheet. Each sphere:

• is tangent to the surface of its corresponding sheet,
• and to the cutting plane at two points F₁ and F₂, the foci.

Using a similar argument (equal tangent lengths from the same point), one proves that for each point P on the hyperbola the difference of distances from the foci is constant:

|PF₁ − PF₂| = constant.

Again we see the precise agreement between the “cone cut” definition and the “focus-based” definition through Dandelin spheres.

6. Directrices and distance ratio

Besides the foci, Dandelin’s theorem also explains the definition of conics via the ratio of distances from a focus and a directrix.

For the ellipse, if we take the plane containing the circle of tangency of a sphere with the cone and intersect it with the conic plane, we obtain a line d, the directrix.

One can show that for each point P on the ellipse:

PF / distance(P, d) = e with 0 < e < 1,

where e is the eccentricity of the ellipse. Similarly, for a hyperbola we have e > 1 and for a parabola e = 1.

7. Educational applications and teaching ideas

Dandelin’s theorem is ideal for:

• Visual teaching: with a 3D software package (for example GeoGebra 3D) students can see simultaneously the cone, the spheres and the conic in the plane.
• Bridging school and university geometry: it links the “school” picture of the ellipse with a string and two nails to the “continuous” geometry of cones.
• Discussing the notion of definition: it shows that the same curve can have different but equivalent definitions.

A nice classroom activity is to ask students to:

1. draw, even schematically, a cone, a plane and the Dandelin spheres,
2. mark the contact points F₁, F₂ and the directrices,
3. explain in their own words why the corresponding distance property (sum, difference or equality) holds.

8. Conclusion

Dandelin’s theorem is not merely a “technical” result in solid geometry. It reveals a deep unity: conics can be described either as intersections of a cone with a plane, or as loci of points satisfying a simple distance condition involving foci and directrices.

Through this theorem, geometry becomes a story about how a three-dimensional picture “gives birth” to the classical curves we meet in algebra, analysis and physics (for example planetary orbits).