Mind-Reading with Math: Powerful Variations of the Secret Number Trick

Παραλλαγές του Κλασικού Κόλπου «Μάντεψε τον Μυστικό Αριθμό»

Τα κόλπα μαθηματικής «μαγείας» έχουν πάντα μια ιδιαίτερη γοητεία. Το πιο κλασικό απ’ όλα ξεκινά όταν ο «μάγος» ζητά από έναν εθελοντή να σκεφτεί έναν μυστικό αριθμό και να κάνει μερικές απλές πράξεις. Στο τέλος —με κάποιον ανεξήγητο τρόπο— ο μάγος αποκαλύπτει το αποτέλεσμα.

Το απλό παράδειγμα:

• Σκέψου έναν αριθμό x.
• Πολλαπλασίασε με 5 → 5x
• Πρόσθεσε 25 → 5x + 25
• Διαίρεσε με 5 → x + 5
• Αφαίρεσε τον αρχικό αριθμό → 5

Ο μάγος «μαντεύει» 5 κάθε φορά. Η εξήγηση είναι καθαρά αλγεβρική.

Αλλά το όμορφο είναι ότι υπάρχουν άπειρες παραλλαγές, και μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πολύ πιο προχωρημένα μαθηματικά για να κάνουμε το κόλπο εντυπωσιακό: αριθμητική modulo, το μικρό θεώρημα του Fermat, ακόμη και το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων.

Το παρακάτω κείμενο εξηγεί πώς μπορείς να φτιάξεις πολλά μαγικά κόλπα μόνος σου, χρησιμοποιώντας αυστηρά μαθηματικά που όμως δουλεύουν «σαν μαγεία».

1. Παραλλαγή με Modular Arithmetic (Αριθμητική Modulo)

Η πράξη:

x mod m

είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του x με το m.

Παράδειγμα κόλπου:

• Σκέψου έναν αριθμό x.
• Πρόσθεσε 8 → x + 8
• Πολλαπλασίασε με 12 → 12x + 96
• Αφαίρεσε 53 → 12x + 43
• Υπολόγισε mod 6 → αποτέλεσμα: 1

Γιατί δουλεύει;

12x + 43 ≡ 1 (mod 6)

Με λίγη άλγεβρα, μπορούμε να δημιουργήσουμε γενικούς τύπους όπως:

am(x + b) − (cm − 1) mod m = 1

ή πιο μαγευτικούς, όπως:

(2m + a)(x + b) − (a − 1)x − ab mod m

Παράδειγμα με m = 7, a = 3, b = 4:

• Σκέψου έναν αριθμό.
• Πρόσθεσε 4.
• Πολλαπλασίασε με 17.
• Αφαίρεσε δύο φορές τον αρχικό αριθμό.
• Αφαίρεσε 12.
• Πάρε mod 7.
• Τελικό αποτέλεσμα: ο αρχικός σου αριθμός!

Παραλλαγή με κανόνα διαιρετότητας mod 11

Χρησιμοποιούμε τον κανόνα:

n ≡ (άθροισμα ζυγών ψηφίων) − (άθροισμα περιττών ψηφίων) (mod 11)

Είναι ιδιαίτερα εντυπωσιακό όταν εφαρμόζεται σε μεγάλους αριθμούς, γιατί μπορείς να ελέγχεις γρήγορα αν κάτι είναι πολλαπλάσιο του 11, ενώ ο «θεατής» νομίζει ότι κάνεις κάτι εξαιρετικά δύσκολο στο μυαλό σου.

2. Παραλλαγή με το Μικρό Θεώρημα του Fermat

Το θεώρημα λέει:

Αν p είναι πρώτος, τότε για κάθε ακέραιο a ισχύει: a^p ≡ a (mod p).

Παράδειγμα:

• Σκέψου έναν αριθμό μικρότερο από 40.
• Ύψωσέ τον στην 5η δύναμη.
• Πάρε το αποτέλεσμα mod 5.

Θα πάρεις είτε:

• 0, αν ο αριθμός σου ήταν πολλαπλάσιο του 5, ή
• τον αρχικό σου αριθμό (mod 5) σε κάθε άλλη περίπτωση.

Με λίγη επιπλέον προετοιμασία (π.χ. περιορίζοντας τις επιλογές του θεατή), μπορείς να κάνεις το αποτέλεσμα να μοιάζει με «διάβασμα σκέψης».

3. Παραλλαγή με το Θεώρημα του Euler

Το θεώρημα του Euler γενικεύει αυτό του Fermat:

a^φ(n) ≡ a (mod n),

όταν το a και το n είναι πρώτοι μεταξύ τους, και φ(n) είναι η συνάρτηση του Euler (μετρά πόσοι αριθμοί από 1 έως n είναι πρώτοι προς το n).

Παράδειγμα με n = 14, φ(14) = 6:

• Σκέψου έναν περιττό αριθμό από 10 έως 20.
• Ύψωσέ τον στην 6η δύναμη.
• Πάρε το αποτέλεσμα mod 14.

Θα καταλήξεις στον αρχικό σου αριθμό (mod 14). Αυτό επιτρέπει διάφορα κόλπα όπου ο «μάγος» φαίνεται να καταλήγει ξανά στον αρχικό αριθμό μετά από δύσκολες πράξεις.

4. Παραλλαγή με το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων

Αν δύο αριθμοί n₁, n₂ είναι πρώτοι μεταξύ τους, τότε υπάρχει μοναδικό x < n₁n₂ που ικανοποιεί:

x ≡ a₁ (mod n₁)
x ≡ a₂ (mod n₂)

Κόλπο:

• Σκέψου έναν αριθμό μικρότερο από 1000.
• Πες μου το x mod 35.
• Πες μου το x mod 36.
• Υπολογίζω:
  x = 36a₁ − 35a₂ (κατάλληλα προσαρμοσμένο mod 1260)

Και βρίσκω τον αριθμό που σκέφτηκες.

Το θεώρημα δουλεύει πάντα, αρκεί οι δύο αριθμοί (εδώ 35 και 36) να είναι coprime (σχετικά πρώτοι).

Το ουσιαστικό μήνυμα

Αυτά τα κόλπα δεν είναι πραγματική «μαγεία». Είναι:

• καθαρά μαθηματικά,
• πανέξυπνες αλγεβρικές τεχνικές,
• και επιδέξια διαχείριση πληροφορίας.

Αλλά στα μάτια του κοινού… μοιάζουν σαν να διαβάζεις το μυαλό τους.

Variations on the Classic Secret Number Mind-Reading Trick

Mathematical “magic” tricks have always fascinated audiences. One of the most classic tricks begins when the “magician” asks a volunteer to think of a secret number and perform a handful of simple operations. At the end —in a seemingly impossible way— the magician reveals the result.

The simple example:

• Think of a number x.
• Multiply by 5 → 5x
• Add 25 → 5x + 25
• Divide by 5 → x + 5
• Subtract the original number → 5

The magician “predicts” 5 every time. The explanation is purely algebraic.

But the beauty is that there are infinitely many variations, and we can use much more advanced mathematics to make the trick astonishing: modular arithmetic, Fermat’s Little Theorem, and even the Chinese Remainder Theorem.

This text explains how you can construct many magical number tricks yourself, using mathematics that works like… actual magic.

1. Variation Using Modular Arithmetic

The operation

x mod m

is the remainder when dividing x by m.

Example trick:

• Think of a number x.
• Add 8 → x + 8
• Multiply by 12 → 12x + 96
• Subtract 53 → 12x + 43
• Reduce mod 6 → result: 1

Why does it work?

12x + 43 ≡ 1 (mod 6)

With a bit of algebra, we can construct general patterns such as:

am(x + b) − (cm − 1) mod m = 1

or more “magical” forms like:

(2m + a)(x + b) − (a − 1)x − ab mod m

Example with m = 7, a = 3, b = 4:

• Think of a number.
• Add 4.
• Multiply by 17.
• Subtract the original number twice.
• Subtract 12.
• Reduce mod 7.
• Final result: your original number!

Mod 11 variant using digit sums

We use the rule:

n ≡ (sum of even-position digits) − (sum of odd-position digits) (mod 11)

This can be very impressive with large numbers, because you can mentally check divisibility by 11 while the spectator believes you’re doing something extremely difficult in your head.

2. Variation Using Fermat’s Little Theorem

The theorem states:

If p is prime, then for every integer a we have a^p ≡ a (mod p).

Example:

• Think of a number less than 40.
• Raise it to the 5th power.
• Reduce the result mod 5.

You will get either:

• 0, if your number was a multiple of 5, or
• your original number (mod 5) in all other cases.

With some extra preparation (for example, restricting the spectator’s choices), you can make the outcome look like genuine “mind-reading.”

3. Variation Using Euler’s Theorem

Euler’s theorem generalises Fermat’s result:

a^φ(n) ≡ a (mod n),

when a and n are coprime, and φ(n) is Euler’s totient function (the number of integers from 1 to n that are coprime with n).

Example with n = 14, φ(14) = 6:

• Think of an odd number between 10 and 20.
• Raise it to the 6th power.
• Reduce the result mod 14.

You will get back your original number (mod 14). This allows for tricks where the “magician” seems to return to the starting number after complicated operations.

4. Variation Using the Chinese Remainder Theorem

If two numbers n₁, n₂ are coprime, then there exists a unique x < n₁n₂ satisfying:

x ≡ a₁ (mod n₁)
x ≡ a₂ (mod n₂)

Trick:

• Think of a number less than 1000.
• Tell me x mod 35.
• Tell me x mod 36.
• I compute:
  x = 36a₁ − 35a₂ (suitably adjusted mod 1260).

And I reveal the number you had in mind.

The theorem always works, as long as the two moduli (here 35 and 36) are coprime.

The essential message

These tricks are not true “magic.” They are:

• algebraic transformations,
• clever elimination of information,
• and mathematical shortcuts.

But to an audience… it feels like mind-reading.