All Numbers 50201905, 502019201905, … Are Multiples of 13

Ένας παράξενος αριθμητικός «πύργος» και το 13

Εκφώνηση (σε ρέοντα ελληνικά)

Να αποδείξετε ότι όλοι οι παρακάτω αριθμοί είναι πολλαπλάσια του 13:

50201905, 502019201905, 5020192019201905,
50201920192019201905, …

Παρατηρούμε ότι σε κάθε βήμα χτίζουμε έναν «αριθμητικό πύργο» ως εξής:

• Ξεκινάμε από τον αριθμό 50201905.
• Για να περάσουμε στον επόμενο αριθμό, παίρνουμε τον προηγούμενο και προσθέτουμε το μπλοκ 2019 ακριβώς πριν από το 1905 στο τέλος.

Για παράδειγμα:

• από τον 50201905 προκύπτει ο 502019201905,
• από τον 502019201905 προκύπτει ο 5020192019201905,
• και ούτω καθεξής.

Να δείξετε ότι κάθε αριθμός που προκύπτει με αυτόν τον τρόπο είναι διαιρετός ακριβώς με το 13, δηλαδή το υπόλοιπο της διαίρεσης με το 13 είναι 0.

A Strange Number “Tower” and the Number 13

Problem Statement (English Translation)

Prove that all of the following numbers are multiples of 13:

50201905, 502019201905, 5020192019201905,
50201920192019201905, …

We build a numerical “tower” step by step as follows:

• We start from the number 50201905.
• To obtain the next number, we take the previous one and insert the block 2019 immediately before the final 1905.

For example:

• from 50201905 we get 502019201905,
• from 502019201905 we get 5020192019201905,
• and so on.

Show that every number obtained in this way is exactly divisible by 13, i.e. its remainder upon division by 13 is 0.