Equal Angles from Two Intersecting Circles and Common Tangents (Olympiad Geometry)

Ίσες γωνίες από κύκλους και εφαπτόμενες – ένα κλασικό γεωμετρικό πρόβλημα

Έστω δύο κύκλοι C₁ και C₂ στο ίδιο επίπεδο, με άνισες ακτίνες και κέντρα O₁ και O₂. Οι δύο κύκλοι τέμνονται σε δύο διακριτά σημεία· διαλέγουμε το ένα και το ονομάζουμε A.

Υπάρχουν δύο κοινές εφαπτόμενες των κύκλων:

• η μία εφάπτεται στον C₁ στο σημείο P₁ και στον C₂ στο σημείο P₂,
• η άλλη εφάπτεται στον C₁ στο σημείο Q₁ και στον C₂ στο σημείο Q₂.

Ορίζουμε:

• M₁ ως το μέσο του τμήματος P₁Q₁,
• M₂ ως το μέσο του τμήματος P₂Q₂.

Να αποδείξετε ότι:

∠O₁AO₂ = ∠M₁AM₂.

Δηλαδή, η γωνία που σχηματίζεται στο σημείο τομής των δύο κύκλων είναι ίση με τη γωνία που σχηματίζεται από τις ευθείες που ενώνουν το ίδιο σημείο A με τα μέσα των αντίστοιχων χορδών εφαπτομένων.

Equal Angles from Two Intersecting Circles and Common Tangents

Let two circles C₁ and C₂ lie in the same plane, with unequal radii and centers O₁ and O₂. The circles intersect in two distinct points; choose one and call it A.

There are two common tangents to the circles:

• one touching C₁ at P₁ and C₂ at P₂,
• the other touching C₁ at Q₁ and C₂ at Q₂.

Define:

• M₁ as the midpoint of segment P₁Q₁,
• M₂ as the midpoint of segment P₂Q₂.

Prove that:

∠O₁AO₂ = ∠M₁AM₂.

In other words, the angle at the intersection point of the two circles equals the angle formed by joining the same intersection point to the midpoints of the corresponding tangent chords.