Fun with the Number One: Surprising Ways to Express 1 Using Infinite Series

Διασκεδάζοντας με τον Αριθμό 1

Πώς μπορούμε να φτάσουμε στο 1 από το e

Ο αριθμός 1 κατέχει μια ιδιαίτερη θέση στη Θεωρία Αριθμών. Είναι η πολλαπλασιαστική ταυτότητα, η βάση κάθε μονάδας μέτρησης, και το «αστέρι» του Νόμου του Benford. Συχνά αποκαλείται μονάδα και συνήθως δεν θεωρείται ως άθροισμα μικρότερων στοιχείων. Ωστόσο, υπάρχουν πολλές ενδιαφέρουσες σειρές που συγκλίνουν στο 1.

1. Η κλασική γεωμετρική σειρά

Η γνωστή άπειρη γεωμετρική σειρά:

∑_k=1^∞ 1/2^k = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

συγκλίνει στο:

(1/2) / (1 − 1/2) = 1.

2. Μια τηλεσκοπική σειρά που οδηγεί επίσης στο 1

Η σειρά:

∑_k=1ⁿ 1 / (k² + k) = ∑_k=1ⁿ (1/k − 1/(k+1))

απλοποιείται ως εξής:

(1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4) + ⋯ + (1/n − 1/(n+1)) = 1 − 1/(n+1).

Άρα καθώς n → ∞:

∑_k=1^∞ 1 / (k² + k) = 1.

3. Ένα πιο «μαγικό» μονοπάτι: από το e στο 1

Ξεκινάμε από την κλασική σειρά του 1/e, η οποία προκύπτει από την ανάπτυξη Taylor του e^x όταν x = −1. Η σειρά αυτή δημοσιεύθηκε για πρώτη φορά από τον Isaac Newton το 1665:

1/e = ∑_n=0^∞ (-1)ⁿ / n!

Τώρα, παρατηρούμε ότι:

1 = e · (1/e).

Αντικαθιστούμε τη σειρά:

1 = e · ∑_n=0^∞ (-1)ⁿ / n!.

Καθώς:

e = ∑_m=0^∞ 1 / m!,

παίρνουμε ένα διπλό άπειρο άθροισμα / γινόμενο:

1 = (∑_m=0^∞ 1 / m!) · (∑_n=0^∞ (-1)ⁿ / n!).

Αυτό το γινόμενο μπορεί να ιδωθεί ως έκφραση του 1 που περιλαμβάνει όλους τους φυσικούς αριθμούς μέσω των παραγοντικών τους!

Η κομψότητα της ταυτότητας αυτής είναι ότι ο αριθμός 1 —ένας απόλυτα «απλός» αριθμός— μπορεί να εκφραστεί ως αποτέλεσμα ενός εξαιρετικά πλούσιου και περίπλοκου συνδυασμού άπειρων σειρών.

Fun, Fun, Fun with the Number One

How to get from e to 1

The number 1 holds a special place in Number Theory. It is the multiplicative identity, the basis of measurement, and the “star” of Benford’s Law. Often called unity, the number 1 is not usually thought of as being built from smaller pieces. Yet many elegant series converge to 1.

1. The classic geometric series

The infinite geometric series

∑_k=1^∞ 1/2^k = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

converges to:

(1/2) / (1 − 1/2) = 1.

2. A telescoping series that also equals 1

The series

∑_k=1ⁿ 1 / (k² + k) = ∑_k=1ⁿ (1/k − 1/(k+1))

expands as:

(1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4) + ⋯ + (1/n − 1/(n+1)) = 1 − 1/(n+1).

Thus, as n → ∞:

∑_k=1^∞ 1 / (k² + k) = 1.

3. A more “magical” path: from e to 1

We begin with the familiar series for 1/e, derived from the Taylor expansion of e^x at x = −1, first published by Isaac Newton in 1665:

1/e = ∑_n=0^∞ (-1)ⁿ / n!.

Since:

1 = e · (1/e),

we substitute the series to obtain:

1 = e · ∑_n=0^∞ (-1)ⁿ / n!.

But:

e = ∑_m=0^∞ 1 / m!,

so we obtain a double infinite sum / product:

1 = (∑_m=0^∞ 1 / m!) · (∑_n=0^∞ (-1)ⁿ / n!).

This expresses 1 using all natural numbers through their factorials — a surprisingly rich identity for such a simple constant.