Πόσους κατοίκους μπορεί να έχει το χωριό του Kargul;
Σε ένα συγκεκριμένο χωριό ισχύουν τα εξής:
- Δεν υπάρχουν δύο κάτοικοι που να έχουν τον ίδιο αριθμό τριχών στο κεφάλι τους.
- Κανένας κάτοικος δεν έχει ακριβώς 2007 τρίχες.
- Ο κάτοικος με τις περισσότερες τρίχες είναι ο Kargul.
- Ο αριθμός των κατοίκων του χωριού είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των τριχών στο κεφάλι του Kargul.
Ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός κατοίκων που μπορεί να έχει αυτό το χωριό;
- A) 0 κατοίκους
- B) 2006 κατοίκους
- Γ) 2007 κατοίκους
- Δ) 2008 κατοίκους
- E) 2009 κατοίκους
📌 Μικρή ιδέα (χωρίς λύση)
Σκέψου τους δυνατούς αριθμούς τριχών που μπορούν να εμφανιστούν, ξεκινώντας από 0 τρίχες μέχρι τον αριθμό τριχών του Kargul. Δεν επιτρέπεται το 2007, και κανένας αριθμός δεν επαναλαμβάνεται. Σύγκρινε πόσοι διαφορετικοί αριθμοί μένουν διαθέσιμοι με τον αριθμό των κατοίκων.
1 σχόλιο:
Απάντηση: (Γ) 2007 κατοίκους έχει το χωριό.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕξήγηση (συνοπτικά): Έστω α ο αριθμός τριχών του Kargul και β ο αριθμός κατοίκων. Οι υπόλοιποι β−1 κάτοικοι έχουν όλους διαφορετικό αριθμό τριχών από το 0 μέχρι το α−1, άρα β−1≤α, δηλαδή β≤α+1.
Από την άλλη δίνεται β>α, οπότε αναγκαστικά β=α+1.
Για να είναι όμως δυνατό να πάρουμε όλα τα α διαφορετικά μικρότερα πλήθη χωρίς να χρησιμοποιηθεί ο αριθμός 2007, πρέπει το 2007 να μην ανήκει στο διάστημα 0,…,α−1, δηλαδή α≤2006 . Το μέγιστο δυνατό α είναι 2006, οπότε το μέγιστο β είναι α+1=2007.