Η αρχή μιας ιστορίας αγάπης μέσα από τη Γεωμετρία
Το Happy End Problem (Πρόβλημα του Ευτυχούς Τέλους) είναι ίσως το πιο ρομαντικό μαθηματικό πρόβλημα που γράφτηκε ποτέ. Η ιστορία ξεκινά το 1933, όταν η νεαρή γεωμέτρης Esther Klein πρότεινε ένα κομψό πρόβλημα συνδυαστικής γεωμετρίας σε μια ομάδα συναδέλφων της στο Πανεπιστήμιο της Βουδαπέστης.
Ανάμεσα στους ακροατές της βρισκόταν και ο George Szekeres. Η κοινή τους συζήτηση πάνω στο πρόβλημα οδήγησε όχι μόνο σε μια διάσημη δημοσίευση, αλλά και σε κάτι πολύ περισσότερο: έναν γάμο. Ο φίλος τους Paul Erdős, γνωστός για το χιούμορ του, το ονόμασε αμέσως το “Happy End Problem” — επειδή το μαθηματικό πρόβλημα είχε… ευτυχές τέλος.
Η εκφώνηση του προβλήματος
Η Esther Klein απέδειξε ότι:
Αν πάρουμε πέντε σημεία στο επίπεδο, σε γενική θέση (δηλαδή ανά τρία δεν είναι συνευθειακά), τότε πάντα μπορούμε να βρούμε τέσσερα από αυτά που αποτελούν κορυφές ενός κυρτού τετραπλεύρου.
Η απόδειξη της Klein βασίζεται στην έννοια του κυρτού περιβλήματος (convex hull) — φανταστείτε τα σημεία ως «καρφιά» και τεντώστε ένα λαστιχάκι γύρω τους. Το σχήμα που προκύπτει είναι το κυρτό περίβλημα.
Ανάλογα με τη θέση των πέντε σημείων, το λαστιχάκι μπορεί να περικλείει:
- Όλα τα σημεία (πεντάγωνο)
- Τέσσερα σημεία, με το πέμπτο εσωτερικό
- Τρία σημεία, με δύο εσωτερικά
Ακόμη και στην τελευταία περίπτωση, η Klein έδειξε ότι υπάρχει πάντα τρόπος να σχηματίσουμε ένα κυρτό τετράπλευρο. Αυτή ήταν η πρώτη κομψή λύση του προβλήματος.
Η γενίκευση των Erdős–Szekeres
Το 1935, οι George Szekeres και Paul Erdős γενίκευσαν την ιδέα: για κάθε n ≥ 3 υπάρχει ένας ελάχιστος αριθμός σημείων g(n) στο επίπεδο, έτσι ώστε κάθε δυνατή διάταξη αυτών των σημείων να περιέχει κορυφές ενός κυρτού n-γώνου.
Αυτή η συνάρτηση g(n) ονομάστηκε «αριθμός Erdős–Szekeres».
Για παράδειγμα:
- g(3) = 3 → κάθε τρία μη συνευθειακά σημεία σχηματίζουν τρίγωνο.
- g(4) = 5 → η απόδειξη της Klein.
- g(5) = 9 → αποδείχθηκε το 1948 από τον Makai.
- g(6) = 17 → επαληθεύθηκε το 2006 από τους Szekeres και Peters μέσω υπολογιστικής αναζήτησης.
Τα αποτελέσματα αυτά δείχνουν το εντυπωσιακό μοτίβο:
g(3), g(4), g(5), g(6) = 3, 5, 9, 17 = 2n−2 + 1
Για n ≥ 7, οι ακριβείς τιμές παραμένουν άγνωστες.
Η υπολογιστική επανάσταση
Στη δεκαετία του 2000, ο ίδιος ο George Szekeres — ήδη πάνω από 90 ετών — συνεργάστηκε με τον Peters για να ελέγξει εξαντλητικά όλες τις πιθανές διατάξεις 17 σημείων, προκειμένου να επαληθεύσει την περίπτωση n=6. Η αναζήτηση αυτή διήρκεσε 1500 ώρες επεξεργασίας.
Αργότερα, οι Marić (2019), Scheucher (2020–2024) και Heule χρησιμοποίησαν SAT solvers για να μειώσουν τον χρόνο απόδειξης από ώρες σε… .
Γιατί το Happy End Problem παραμένει γοητευτικό
Το πρόβλημα συνδυάζει απλότητα στη διατύπωση με απίστευτη μαθηματική πολυπλοκότητα. Είναι μια γέφυρα ανάμεσα στη γεωμετρία, τη συνδυαστική, και τη θεωρία υπολογισμού.
Αλλά πάνω απ’ όλα, είναι μια υπενθύμιση ότι τα Μαθηματικά δεν είναι μόνο ψυχρή λογική. Είναι και ανθρώπινη ιστορία, πάθος, έμπνευση και — ενίοτε — αγάπη.
Το Happy End Problem: το θεώρημα που ξεκίνησε ως απόδειξη, και τελείωσε ως υπόσχεση ζωής.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου