Οι Ευτυχισμένοι Αριθμοί και ο Κύκλος του 4 — Μαθηματικό Παζλ

EisatoponAI: Οι Ευτυχισμένοι Αριθμοί και ο Κύκλος του 4

Καλλιτεχνική απεικόνιση των ευτυχισμένων αριθμών: τα τετράγωνα των ψηφίων οδηγούν είτε στο σταθερό σημείο 1 είτε στον κύκλο 4→16→37→58→89→145→42→20→4.

Αν πάρουμε έναν θετικό ακέραιο και αθροίσουμε τα τετράγωνα των ψηφίων του, και επαναλάβουμε τη διαδικασία για το νέο αριθμό, μετά από πεπερασμένα βήματα θα καταλήξουμε είτε στο 1 είτε στο 4.

Αν καταλήξουμε στο 1, η διαδικασία συνεχίζει να δίνει πάντα 1.
Αν καταλήξουμε στο 4, τότε εμφανίζεται ο ακόλουθος κύκλος μήκους 8:

4 \to 16 \to 37 \to 58 \to 89 \to 145 \to 42 \to 20 \to 4

Έτσι, κάθε θετικός αριθμός καταλήγει είτε στο “σταθερό σημείο” 1 είτε στον “κύκλο του 4”.

Παραδείγματα

1️⃣ $169 \to 118 \to 66 \to 72 \to 53 \to 34 \to 25 \to 29 \to 85 \to 89 \to 145 \to 42 \to 20 \to 4$

2️⃣ $7 \to 49 \to 97 \to 130 \to 10 \to 1$

Ορισμός της Συνάρτησης

Έστω $x \in \mathbb{N}^+$ με ψηφία $x_1, x_2, \ldots, x_n$ .
Ορίζουμε:

S(x) = x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2

Η συνάρτηση $S$ παίρνει κάθε αριθμό και τον αντικαθιστά με το άθροισμα των τετραγώνων των ψηφίων του.
Αν εφαρμόσουμε επανειλημμένα τη συνάρτηση $S$ , δηλαδή $S(S(\cdots S(x)))$ , μετά από ορισμένα βήματα καταλήγουμε σε 1 ή 4.

Θεώρημα (Happy Number Property)

Για κάθε θετικό ακέραιο $x$ , υπάρχει ακέραιος $k > 0$ τέτοιος ώστε
$S^k(x) = 1 \quad \text{ή} \quad S^k(x) = 4.$
Επιπλέον, $S^i(1)=1$ και $S^{8i}(4)=4$ για κάθε θετικό $i$ .

Απόδειξη

1️⃣ Το άθροισμα των τετραγώνων των ψηφίων ενός αριθμού είναι πεπερασμένο:
Για παράδειγμα, για οποιονδήποτε $x < 10^n$ , έχουμε $S(x) \le 81n$ .
Άρα η ακολουθία $S(x), S(S(x)), S(S(S(x)))$ είναι φραγμένη.

2️⃣ Επειδή υπάρχουν μόνο πεπερασμένοι αριθμοί κάτω από κάποιο όριο, η ακολουθία κάποια στιγμή επαναλαμβάνεται.

3️⃣ Έλεγχος όλων των μικρών περιπτώσεων δείχνει ότι υπάρχουν μόνο δύο «επαναλαμβανόμενα μοτίβα»:
το σταθερό σημείο 1 και ο κύκλος 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4.

Έτσι, όλοι οι αριθμοί οδηγούνται τελικά σε ένα από αυτά τα δύο μονοπάτια.

Ορισμός

Οι αριθμοί που καταλήγουν στο 1 ονομάζονται ευτυχισμένοι αριθμοί (happy numbers).
Όσοι οδηγούνται στον κύκλο του 4 ονομάζονται δυστυχισμένοι (unhappy numbers).

Παρατήρηση

Αν ο αριθμός είναι ευτυχισμένος, τότε και κάθε αναδιάταξη των ψηφίων του είναι επίσης ευτυχισμένη — γιατί η συνάρτηση $S$ εξαρτάται μόνο από τα τετράγωνα των ψηφίων, όχι από τη σειρά τους.