Η Ταυτότητα του Hermite: Μια Κομψή Ισότητα με Ακέραια Μέρη

Η ταυτότητα του Hermite είναι μία πολύ κομψή σχέση που συνδέει το ακέραιο μέρος ενός γινομένου με ένα άθροισμα από ακέραια μέρη μετατοπισμένων τιμών της ίδιας μεταβλητής.

Για πραγματικό $x$ και θετικό ακέραιο $n$, ισχύει:

$$\boxed{\lfloor nx \rfloor = \lfloor x \rfloor + \left\lfloor x + \frac{1}{n} \right\rfloor + \cdots + \left\lfloor x + \frac{n-1}{n} \right\rfloor}$$

Ιδέα της Απόδειξης

Ορίζουμε τη συνάρτηση:

$$f(x) = \left(\text{δεξιά πλευρά}\right) - \lfloor nx \rfloor.$$

Δείχνουμε ότι:

$$f\left(x + \frac{1}{n}\right) = f(x),$$

δηλαδή η συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο $\frac{1}{n}$.

Αρκεί λοιπόν να εξετάσουμε την $f(x)$ στο διάστημα:

$$0 \le x < \frac{1}{n}.$$

Σε αυτό το διάστημα:

• Όλοι οι όροι του αθροίσματος έχουν ακέραιο μέρος 0,

• και επίσης $\lfloor nx \rfloor = 0$.

Άρα:

$$f(x) = 0 \quad \text{για όλα τα } x.$$

Επομένως η ταυτότητα ισχύει για κάθε πραγματικό x.

---

Γιατί είναι ενδιαφέρουσα;

• Δείχνει πώς η συνάρτηση ακέραιου μέρους συμπεριφέρεται μέσα σε άθροισμα.

• Εμφανίζεται σε αριθμητική ανάλυση, γεωμετρία αριθμών και διακριτή μαθηματική θεωρία.

• Είναι κλασικό παράδειγμα όπου μία ιδέα περιοδικότητας απλοποιεί ένα φαινομενικά περίπλοκο άθροισμα.

Είναι μία από αυτές τις ταυτότητες που δεν «φωνάζουν» εντυπωσιακές, αλλά αποκαλύπτουν την καθαρή δομή της αριθμητικής.