Infinite Series with Powers of 2 – Find Its Repeating Decimal Expansion

Άπειρο Άθροισμα με Δυνάμεις του 2 – Βρείτε την Περιοδική Δεκαδική Μορφή

Εξετάζουμε τον αριθμό

S = \(\displaystyle \frac{2}{101} + \frac{4}{10001} + \frac{8}{100000001} + \cdots\),

όπου οι αριθμητές είναι δυνάμεις του 2 και σε κάθε παρονομαστή ο αριθμός των μηδενικών ανάμεσα στις δύο μονάδες είναι κατά 1 μικρότερος από τον αντίστοιχο αριθμητή.

Για παράδειγμα:

• Στον όρο \(\displaystyle \frac{2}{101}\) υπάρχουν 2 στον αριθμητή και 1 μηδενικό στον παρονομαστή.
• Στον όρο \(\displaystyle \frac{4}{10001}\) υπάρχουν 4 στον αριθμητή και 3 μηδενικά στον παρονομαστή.
• Στον όρο \(\displaystyle \frac{8}{100000001}\) υπάρχουν 8 στον αριθμητή και 7 μηδενικά στον παρονομαστή, και ούτω καθεξής επ’ άπειρον.

Ζητούμενο:
Να γράψετε το άθροισμα S ως περιοδικό δεκαδικό αριθμό.

An Infinite Series with Powers of 2 – Find Its Repeating Decimal Expansion

Consider the number

S = \(\displaystyle \frac{2}{101} + \frac{4}{10001} + \frac{8}{100000001} + \cdots\),

where the numerators are powers of 2, and in each denominator the number of zeros between the two digits 1 is exactly 1 less than the corresponding numerator.

For example:

• In the term \(\displaystyle \frac{2}{101}\) there is 2 in the numerator and 1 zero in the denominator.
• In the term \(\displaystyle \frac{4}{10001}\) there is 4 in the numerator and 3 zeros in the denominator.
• In the term \(\displaystyle \frac{8}{100000001}\) there is 8 in the numerator and 7 zeros in the denominator, and so on ad infinitum.

Question:
Express the sum S as an infinite repeating decimal number.